Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон - Страница 42

ds2 = —dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (8.8)

Знак «минус» несколько затрудняет работу, но с этим можно смириться. При помощи этих формул мы можем легко найти длину любой пространственноподобной кривой. Мы уже делали это, записывая выражение (6.10). Но для временеподобных кривых, по которым как раз и движутся реальные объекты, пространственно-временной интервал ds2 оказывается отрицательным, а

и вовсе комплексным числом. Странно, но совсем не страшно. Для таких траекторий нам просто следует говорить о собственном времени, для которого действует формула

(window.adrunTag = window.adrunTag || []).push({v: 1, el: 'adrun-4-144', c: 4, b: 144})

dτ2 = —ds2. (8.9)

Как вариант, можно умножить правую часть выражения (8.8) на –1, то есть определить линейный элемент как отрицательное значение того, о чем мы говорили выше. Тогда для временеподобных кривых он будет давать собственное время, а результаты вычислений для пространственноподобных нам придется умножать на –1. Вполне разумный подход, который используется во многих учебниках. (Надо сказать, что большинство физиков, занимающихся теорией относительности, придерживаются варианта «—+++», тогда как в физике частиц чаще применяется +—–»). Наш выбор более удобен, поскольку, если понадобится поговорить о «пространстве в какой-то момент времени», метрика пространства-времени сведется к привычной метрике Евклида («+++»).

Специальную теорию относительности можно описать одним коротким предложением: «пространство-время описывается метрикой Минковского». В выражениях (8.7) и (8.8) заключен весь объем данных, необходимых для разговора о расстояниях, времени, световых конусах, космических путешествиях близнецов и других приключениях.

Однако по мнению Эйнштейна, реальное пространство-время в нашей вселенной выглядит как пространство-время Минковского только на небольших участках, которые, соединенные друг с другом, образуют искривленное многообразие, описанное Риманом. Его геометрия также характеризуется метрикой, но гораздо более сложной, чем (8.7). Поиски этой метрики и попытки понять ее влияние на процессы во вселенной — именно этим и заняты современные физики, специалисты по общей теории относительности.

Рассмотрим простую метрику, которая не сильно отличается от метрики Минковского, — метрику расширяющейся вселенной:

(8.10)

В этой записи все нулевые элементы опущены. Но мы будем помнить о том, что они есть, и записывать, если возникнет необходимость. Та же самая метрика в форме линейного элемента:

ds2 = —dt2 + a2(t)[dx2 + dy2 + dz2]. (8.11)

Функция a(t) называется масштабным фактором. Если задуматься над происходящим с физической точки зрения, мы увидим, что время идет, как обычно. Поэтому элемент g00 метрики, то есть коэффициент при dt2, равен –1, как и в пространстве-времени Минковского. А вот пространственные элементы умножаются на масштабный фактор, то есть расстояние между двумя объектами (например, галактиками) увеличивается по мере возрастания a(t). Таким образом, мы получили математическую модель расширяющегося пространства.

Специалисты по общей теории относительности часто подходят к работе примерно следующим образом. Допустим, нам нужно построить модель физической системы с определенными свойствами. Пусть это будет, к примеру, вселенная, в которой материя (которая искривляет пространство-время) распределяется равномерно, без сгустков и пустот. Следовательно, метрика такой вселенной не будет зависеть от пространственного положения xi, а только от t. Допустим также, что пространство (не пространство-время) является плоским и подчиняется геометрии Евклида. При этих допущениях мы однозначно получим метрику, имеющую вид (8.10). Но мы не знаем, как ведет себя масштабный фактор a(t), который, по всей видимости, зависит от количества материи. Нам нужно уравнение для связи метрики с материей и энергией. Эйнштейн нашел такое уравнение.

Тензор энергии-импульса

Математики принимают аксиомы и строго доказывают теоремы на их основе. Физики действуют по-другому: они высказывают догадки (или, по-умному, гипотезы) о том, как устроен мир, а затем проверяют их на внутреннюю согласованность и соответствие данным, полученным в ходе экспериментов. Эйнштейну предстояло догадаться, какое уравнение описывает трансформации метрики пространства-времени.

Согласно физике Ньютона, сила пропорциональна массе объекта — источника гравитации. Но мы хотим обобщить эту идею с позиций теории относительности, в которой «масса» считается одной из форм энергии (энергией неподвижного объекта). При этом, как мы знаем из главы 6, энергия объединяется с импульсом, то есть является нулевым элементом его 4-вектора.

Хотя в той главе мы говорили об отдельном объекте, который можно рассматривать как точку, нам не всегда будет так везти: придется когда-нибудь обсудить источники энергии и материи, распределенные по всему пространству (например, внутреннюю часть звезды или темную материю вокруг галактики). В теории относительности такую распределенную в пространстве материю принято называть жидкостью[24]. Не самый удачный термин, надо сказать, поскольку мы часто говорим о материи, нисколько не похожей на жидкость. Но мы все равно называем то, что находится внутри планеты, жидкостью, какой бы твердой она ни была. Разлетающиеся во все стороны фотоны — это тоже жидкость. Иными словами, для специалиста по общей теории относительности «жидкость» — это любая форма материи, которая не сосредоточена в одной точке, а распределена в пространстве.

Описывая жидкость, удобнее говорить не о массе либо энергии, но о плотности энергии, которая обозначается греческой буквой «ро» (ρ) и представляет собой количество энергии на кубический сантиметр (или какую-то другую единицу объема). Плотность энергии может меняться в пространстве и времени, а потому является в общем случае функцией от xµ. Для локализованного объекта, например звезды или планеты, полная энергия равна интегралу плотности энергии по пространству.

Помимо плотности энергии жидкость характеризуется давлением, которое показывает, как сильно она давит на стенки контейнера. (Конечно же, в реальности нет никаких контейнеров, поэтому мы думаем о воздействии на гипотетические стенки.) Жидкость может каким-то образом перемещаться (представьте себе поток воздуха или воды), а значит, в общем случае из каждой точки жидкости исходит вектор скорости. Наконец, если жидкость как-то искривлена либо деформирована относительно состояния равновесия, в ней появляются напряжения. Как и плотность энергии, все эти величины в общем случае зависят от рассматриваемой точки пространства-времени.

В теории относительности все эти понятия объединены в тензор энергии-импульса (также известный как тензор напряжения-энергии), который обычно обозначается как Tµν. Он содержит в себе все данные о массе, энергии, импульсе, давлении, напряжении и других энергетических характеристиках совокупности материи (излучения или любых других жидкостей).

Как можно догадаться, в привычных нам величинах формула Tµν будет ужасно сложной. Но мы можем хотя бы представить, на что она похожа, если рассмотрим простой случай с идеальной жидкостью, которая в неподвижной системе отсчета равномерно распределена во всех направлениях. В этом случае тензор энергии-импульса будет зависеть только от плотности энергии ρ и давления p. В плоском пространстве-времени и неподвижной системе отсчета тензор энергии-импульса идеальной жидкости имеет вид: