Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 17
Теперь добавим к этим четырехугольникам треугольник АМС (темно-серый), который станет их общей частью. Поскольку мы прибавили «к равным равное», получается, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием АС равны. В чем разница между случаем, который мы только что доказали, и общим утверждением предложений 35 и 36 первой книги? Она состоит в том, что, как мы уже видели, в этом случае речь идет не просто о равных основаниях, а об одном и том же основании (в паре ВС и AJ — отрезок АС, в паре AJ и IH — отрезок IJ).
В этом доказательстве Евклид, возможно, использовал предложение 4 из первой книги (критерий равенства по двум сторонам и углу), которое устанавливает равенство треугольников BAI и DCJ. Для этого ему были необходимы некоторые свойства, вытекающие из постулата о параллельных (см., в частности, предложения 34 и 29 первой книги). После того как Евклид пришел к этому результату, он мог использовать метод танграма, при котором части не равны друг другу, но имеют одинаковую площадь. В этом и состоял принцип обобщенного танграма, который Евклид использовал с большим мастерством. Предложение 37 первой книги является простым выводом из предыдущих, поскольку сводится к доказательству того, что площадь треугольников равна половине площади параллелограмма (см. рисунок 6).
Разум не сосуд, который надо наполнить, а факел, который надо зажечь.
Плутарх
Евклид, как до него и другие древнегреческие математики, вывел геометрию на новый уровень и придал ей большую ясность, обобщив простые и очевидные результаты. В данном случае он установил, правда не объясняя это отдельно, а сразу используя в своих доказательствах, что площади можно высчитывать при помощи различных по форме фигур (параллелограммов и треугольников).
РИС. 6
Еще одно геометрическое понятие, позволившее Евклиду использовать обобщенный метод танграма,— гномон. Геродот так говорит о нем во второй книге «Истории»:
«Сесострис разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать.
Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу.
Ведь «полос» и «гномон», так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян».
РИС. 7
Евклид дал определение гномону в книге II, хотя уже в книге I установил характеристики, благодаря которым он имеет такое большое значение.
Книга II, определение 2. Во всякой образованной параллельными линиями площади каждый из расположенных на ее диаметре параллелограммов вместе с двумя дополнениями будем называть гномоном.
Его интересная особенность:
Книга I, предложение 43. Во всяком параллелограмме дополнения расположенных по диаметру параллелограммов равны между собой.
Как видно на рисунке 7, гномоном, согласно определению 2 книги II, является серая фигура, состоящая из четырех частей: двух параллелограммов IH, GC и двух треугольников IGD и JDG, явно равных. Треугольники, на которые параллелограмм делится диагональю, то есть белые и темно-серые, равны по признаку равенства треугольников, то есть применяется общее понятие 3. Следовательно, фигуры разной формы (которые нельзя наложить одну на другую) равновеликие, в этом и заключается обобщенный метод танграма.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Игра в танграм позволила Евклиду дать очень изящное и в то же время очень оригинальное доказательство теоремы Пифагора.
Доказательство Евклида из предложения 47 книги I.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике ΔАВС квадрат на гипотенузе ВС равен сумме квадратов, построенных на катетах АВ и АС.
Как видно на рисунке 8, из вершины А проводится прямая, перпендикулярная гипотенузе ВС, до пересечения со стороной Н1 квадрата В1. Мы получаем прямоугольники CJ и В]. Необходимо доказать, что прямоугольник С] равен квадрату AD и что прямоугольник BJ равен квадрату AG. Евклид строит треугольники AACI и ADCB. Они равны, как можно легко убедиться, поскольку имеют равные стороны и угол между ними (общее понятие 2). Итак, у треугольника AACI и прямоугольника CJ общая сторона СI, а его вершина А находится на той же параллельной прямой, AJ, на которой у прямоугольника CJ расположена сторона KJ, противоположная стороне CI. Следовательно, площадь прямоугольника CJ в два раза больше площади треугольника ΔACI. Таким же образом, площадь квадрата AD в два раза больше площади треугольника ADCB. Следовательно, площадь квадрата AD равна площади прямоугольника IK (первое равенство, которое мы должны были доказать). Аналогично, площадь квадрата AG равна площади прямоугольника BJ (второе равенство, которое мы хотели доказать). Следовательно, согласно общему понятию 2, теорема доказана.
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ТАНГРАМА В КНИГЕ II
Термин «геометрическая алгебра» в свое время вызывал споры, но в любом случае он очень удобен из-за своей лаконичности. Дисциплина заключается в том, чтобы выразить площади прямоугольников и квадратов в числовой форме. Ее пионерами были Диофант Александрийский и арабские математики. Например, знаменитое дистрибутивное свойство умножения, представленное в алгебраическом виде как а (b + с + d +...) = (a x b) + (a x c) + + (а х d) + ..., в геометрии Евклида будет записано так:
Книга II, предложение 1.
Если имеются две прямые и одна из них рассечена на сколько угодно отрезков, то прямоугольнику заключающийся между этими двумя прямыми у равен вместе взятым прямоугольникам, заключенным между нерассеченной прямой и каждым из отрезков (см. рисунок 9).
РИС. 8
РИС. 9
Аналогичным образом можно выразить и другие алгебраические равенства, например (а ± b)² = а² + b² ± 2aby (а + b) х (а - b) = а² - b². Рассмотрим только (а + b) х (а - b) = а² - b². Будем исходить из альтернативной формулировки предложения 5 книги 2. Возьмем фигуру, как на рисунке 10. Разобьем прямоугольник HJ. В первую очередь установим равновеликость прямоугольников FN и NB, используя свойства гномона. Прямоугольник NB равновелик прямоугольнику BI по построению, так как DB = DF = а, BJ = FH = b, DJ = а + b, JI = DH = а - b. Получается, что прямоугольник HJ состоит из квадрата KD (а²), поскольку прямоугольники GJ и FN равны, но остается квадрат MG (b²).
РИС. 10
РИС. 11
Второе применение танграма позволяет доказать, что многосторонние фигуры могут трансформироваться в равновеликий квадрат. Для доказательства мы будем постепенно уменьшать количество сторон многосторонней фигуры, сведя ее к треугольнику. Возьмем многостороннюю фигуру ABCDEFG (см. рисунок 11). Соединим две ее любые вершины, между которыми есть хотя бы одна другая вершина, например D и F. Проведем параллельную прямую через вершину Е. Продлим сторону CD, пока она не пересечет эту параллельную в точке I. Соединим точки I и F. Треугольники IFD и EFD равновеликие (книга I, предложение 35). Таким образом, фигуры ABCDEFG и ABCIFG также равновеликие, но у первой на одну сторону больше, чем у второй. Повторив эту процедуру, мы получим прямоугольник, равновеликий заданному многоугольнику. Следовательно, всякую многоугольную фигуру можно свести к треугольнику.
- Предыдущая
- 17/30
- Следующая