Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 16
«Но надо исследовать теоретически, как полагается беспредельное в цельном. Ясно, что если имеется неограниченная прямая, то неограниченна и плоскость, содержащая ее, причем на деле, поскольку задача предложена. [...] Остается считать, что беспредельное существует лишь в воображении, но беспредельное не мыслится воображением. Ведь мыслить — значит придавать мыслимому форму и предел [...] Так что беспредельное относится не к мышлению, но к неопределенному для мысли; и, будучи немыслимым, несоразмерным природе и непостижимым для мысли, оно и называется беспредельным. [...] Воображение порождает его в силу своей нераздельной способности непостижимого порождения и представляет беспредельное по его немыслимости. [...] Так что когда мы полагаем в воображении данную неограниченную прямую, подобно всем прочим геометрическим фигурам, [...] не удивительно ли, как эта линия может быть беспредельной на деле и как она, будучи неопределенной, связана с определенными понятиями? С другой стороны, разум, из которого исходят рассуждения и доказательства, не пользуется беспредельным в науках, [...] беспредельное берется не ради беспредельного, но ради определенного. Ведь если данная точка не лежит на продолжении ограниченной прямой и не отстоит от этой прямой так, что никакая часть прямой не лежит под точкой, у нас не будет никакой потребности в беспредельном. В этом случае пользуются ограниченным, как не подлежащим проверке и бесспорным».
В этом тексте сделан большой шаг вперед по сравнению с предыдущими рассуждениями о бесконечном. Однако лишь благодаря исследованиям немецких ученых Рихарда Дедекинда (1831-1916) и особенно Георга Кантора (1845-1918) — всего через 50 лет после того, как Лобачевский и Бойяи расправились с пятым постулатом, — актуальная бесконечность стала частью математики. Так был положен конец философско-научной традиции, длившейся более 2000 лет.
ГЛАВА 4
Метод танграма в «Началах»
Одним из важнейших достижений китайской геометрии было изобретение танграма, позволяющего составлять различные фигуры с одинаковой площадью. Древнегреческие математики развили и обобщили эту технику, придав ей огромный дедуктивный потенциал. В частности, метод танграма позволил Евклиду доказать одну из основополагающих теорем древнегреческой геометрии, знаменитую теорему Пифагора, и решить задачи тысячелетней давности, унаследованные от месопотамских мыслителей.
Классический китайский тантрам — это элементарный геометрический метод, который основывается на следующем фундаментальном постулате.
Две фигуры, состоящие из равных частей, равны между собой.
В Китае этот метод был известен с незапамятных времен и назывался qi qiao ban — «семь дощечек мастерства». В Европу танграм попал как игра-головоломка и в таком виде распространился по всему миру. Изначально семь составляющих его частей сложены так, что образуют квадрат (см. рисунок 1 на следующей странице). Площади фигур, составленных из всех этих частей, равны площади квадрата (рисунок 2). Эта особенность позволяет, помимо прочего, показать значение диагонали квадрата. Итак, из данного квадрата можно сложить еще два с равной площадью (рисунок 3). Таким образом, мы видим, что при помощи диагонали квадрата справа можно построить еще один (как данный первоначально) с площадью, вдвое большей. Мы использовали термин «показать», поскольку в этом случае речь идет о простом наблюдении фигур без использования каких-либо логико-дедуктивных методов.
Такой вид рассуждения тесно связан с диалогом Платона о воспоминании «Менон», где Сократ показывает: раб знает то, о чем он не знает, что знает. Рассуждение Сократа строится по принципу следующего: возьмем квадрат (со сплошным контуром, см. рисунок 4). Повторив его четыре раза, мы получим квадрат с пунктирными сторонами, как видно на том же рисунке. Затем проведем диагональ и на ней построим еще один квадрат. Получаем наклонный квадрат с пунктирными сторонами. Очевидно, что площадь этого квадрата равна сумме площадей двух квадратов, равных данному.
РИС. 1
РИС. 2
Танграм работает по такому же принципу, только используются прямоугольные равнобедренные треугольники, построенные на диагонали квадрата, в который части танграма сложены изначально. Евклид использовал в своей геометрии (точнее, в геометрии, основанной на его постулате о параллелях) обобщенный метод танграма: для деления отрезка таким образом, чтобы его части образовывали прямоугольник с площадью, большей, меньшей или равной площади данного квадрата; для геометрического решения месопотамской задачи, применяемой в решении уравнений второго порядка; для построения квадратуры многоугольников — то есть квадрата с площадью, равной площади данного многоугольника; наконец, для определения золотого сечения — операции, заключающейся в разделении отрезка на две части так, чтобы меньшая относилась к большей так, как большая относится к целому.
Евклид располагал базовым инструментом — параллелизмом, с помощью которого смог доказать следующие результаты.
Книга I, предложение 29. Накрест лежащие углы равны между собой.
Книга I, предложение 32. Сумма трех внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых углов.
Книга I, предложение 34. Противоположные стороны и углы параллелограммов равны между собой.
РИС.З
РИС. 4
Предложения 29 и 34 позволяют применить обобщенный метод танграма, то есть использовать тантрам, не ограничиваясь изначально заданными фигурами, на которые он разделен. Для этого нужны теоремы, устанавливающие равенство их площадей.
Книга I, предложения 35 и 36. Параллелограммы, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же параллельными прямыми, равны между собой.
Книга I, предложение 37. Треугольники, находящиеся на одном и том же основании и между одними и теми же прямыми, равны между собой.
РИС. 5
Рисунок 5 иллюстрирует предложения 35 и 26 первой книги.
Евклид говорит, что параллелограммы ВС и IH обладают одинаковой площадью. Сегодня это утверждение кажется нам очевидным. У фигур одинаковое основание и одинаковая высота, а площадь получается путем умножения этих двух величин (хотя это тоже требует доказательства). Однако древнегреческая геометрия оперирует размерами, у которых вследствие несоизмеримости нет длины. Из-за этого один или оба отрезка не могут быть измерены (этот вопрос мы рассмотрим подробнее в главе 5). Следовательно, необходимо найти способ доказать равенство этих двух площадей. Евклид использовал общее понятие 1. Если бы ему удалось доказать, что площади параллелограммов ВС и AJ с общим основанием равны и что площадь второго равна площади параллелограмма IH с которым у него одинаковое основание, то и параллелограммы ВС и IH были бы равны.
Точка обозначает конец линии или ее начало?
Кто знает. Никто.
Мо-цзы (479-400 до н. э.)
Начнем с первого вопроса. Евклид анализирует все фигуры (то есть пользуется методом китайского танграма) и применяет общие понятия 2 и 3. Треугольники BAI и DCJ состоят из белой фигуры и серой, которая является общей для них обоих. Если мы отнимем у них этот общий кусок («от равных отнимем равное»), то получится, что площади четырехугольников BAMD и IMCJ равны, хотя они и имеют разную форму.
- Предыдущая
- 16/30
- Следующая