Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 18
РИС. 12
Затем мы можем доказать, что любой треугольник можно преобразовать в прямоугольник, что наглядно показано на рисунке 12.
Остается разобрать последний вариант: доказать, что всякий прямоугольник можно свести к квадрату (книга II, предложение 14). Возьмем прямоугольник AD и попробуем преобразовать его в квадрат. Рассмотрим рисунок 13. Отложим отрезок, равный CD, на продолжении стороны АС. Разделим отрезок АВ пополам точкой G. Проведем полуокружность с центром G и радиусом GB и полухорду FC, перпендикулярную АВ и пересекающую ее в точке С. Отрезок FC будет стороной квадрата, равновеликого данному прямоугольнику.
Все эти построения можно сделать исключительно при помощи линейки и циркуля. Необходимо доказать, что FC соответствует нужным требованиям. Рассмотрим отрезки r [=GF=AG=GB] и s [=СС]. Получается, что прямоугольник равновелик (r + s) (r - s), то есть r² - s². FC — катет прямоугольного треугольника FCG. По теореме Пифагора его квадрат равен r² - s². Следовательно, прямоугольник AD равновелик квадрату ЕС, что мы и хотели доказать. Евклид провел это доказательство при помощи метода танграма; мы же использовали алгебраические формулировки, чтобы упростить объяснение, не искажая его.
РИС. 13
ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ
Золотым сечением называется такое соотношение двух отрезков a и b, при котором соотношение сумм их длин а + b к большей длине а равно соотношению а к b (см. рисунок 14). Предположительно своим названием соотношение обязано частым использованием в произведениях архитектуры и искусства, которым оно придает, как пишут некоторые авторы, особую гармонию. Его также называют золотым отрезком (когда подразумевается некий наибольший отрезок), золотым числом, божественной пропорцией, или, в терминологии Евклида, делением в крайнем и среднем отношении. Оно обозначается греческой буквой фи (Ф) и соответствует значению:
РИС. 14
РИС. 15
Ф = (1+ √5)/2 = 1,618033988749894848204586834365638117720309...
Это иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде дроби целых чисел. С геометрической точки зрения для построения золотого отрезка надо разделить данный отрезок АВ в точке Е так, чтобы квадрат с большей стороной АЕ совпал с прямоугольником с меньшей стороной ЕВ и первоначальным отрезком (книга II, предложение 11), как видно на рисунке 15.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ЗВЕЗДА
Евклид использовал золотое сечение для промежуточного этапа построения правильного пятиугольника, в частности чтобы получить равнобедренный треугольник, у которого углы в основании были бы в два раза больше угла у вершины. Это удивительное построение можно объяснить, только предположив, что у Евклида уже был пример такого пятиугольника, причем идеального, и что анализируя эту фигуру, он пришел к выводу о необходимости вышеуказанного треугольника. Это еще один пример анализа и синтеза, о которых мы говорили в главе 2. Действительно, при рассмотрении пятиугольника видно, что две диагонали и одна его сторона образуют равнобедренный треугольник, углы в его основании вдвое больше угла у вершины. Диагонали ЕВ и AD пересекаются в точке F, которая делит их в крайнем и среднем соотношении. По всей вероятности, правильный пятиугольник имел особое значение для пифагорейской школы, символом которой, как говорят, была пятиугольная звезда, получаемая путем проведения диагоналей внутри фигуры (непрерывные линии).
ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК
При помощи золотого отрезка можно построить прямоугольник, сторонами которого будут первоначальный отрезок АВ и самая длинная часть золотого отрезка, АЕ; поэтому он и называется золотым прямоугольником. На рисунке 15 мы видим, что точка Е делит АВ в крайнем и среднем соотношении. Особенностью этого прямоугольника является то, что он может самовоспроизводиться следующим образом (см. рисунок 16): меньший отрезок BE делит больший отрезок АЕ в крайнем и среднем соотношении и становится таким образом большим отрезком нового деления (точка J делит отрезок ВН(=АЕ) в крайнем и среднем соотношении). Прямоугольник АН является золотым прямоугольником, так же как ЕН, LH и так далее до бесконечности.
РИС. 16
ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК И ДОДЕКАЭДР
В заключении «Начал» рассматривается построение Платоновых тел и доказывается, что их существует только пять. В «Тимее» Платон классифицирует природные элементы по пяти телам (см. рисунок 17): тетраэдр он относит к огню из-за его легкости; куб, или гексаэдр, — к земле из-за их стабильности; октаэдр — к воздуху из-за его неустойчивости; икосаэдр — к воде из-за текучести, а додекаэдр — к элементу космоса, пятому, божественному элементу.
РИС. 17
Пять Платоновых тел. Слева направо: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр.
Книга XIII, предложение 18. Кроме упомянутых пяти тел невозможно построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.
Доказательство. Представим, что на листе бумаги стоит точка. Нарисуем вокруг нее 3,4 или 5 равносторонних треугольников, 3 или 4 квадрата и 3 пятиугольника. Если посчитать градусы углов, становится понятно, что другие фигуры невозможны. Следовательно, не могут существовать другие правильные многоугольники, кроме упомянутых выше.
ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК В ДВУХ ШЕДЕВРАХ
Существует мнение, что золотой прямоугольник встречается во многих произведениях искусства (в частности, в афинском Парфеноне и «Менинах» Веласкеса). Но даже когда искусство прервало классические традиции, как в случае кубизма, прямоугольник остался важным структурным элементом картины. Парфенон — один из самых известных дорических храмов, сохранившихся до наших дней; он был построен между 447 и 432 годами до н.э. Его размеры составляют примерно 69,5 м в длину, 30,9 м в ширину, высота колонн —10,4 м. Храм посвящен богине Афине, которую жители города считали своей покровительницей. А полотно Веласкеса было написано в 1656 году и его размеры — 318 х 276 см. Как видно на рисунках, пропорции их основных элементов образуют золотые прямоугольники. Необходимо уточнить, что хотя эти пропорции и не были результатом специальных построений, все же вряд ли они получились по чистой случайности.
Но существуют ли пять Платоновых тел? Построить первые три относительно легко, а в случае с икосаэдром и додекаэдром все не так просто. Евклид в предложениях с 13 по 17 книги XIII объясняет эти фигуры и вычисляет их стороны
в соответствии с диаметром сферы, в которую они вписаны. Задача сводится к тому, чтобы построить круг, заключающий одну из сторон многоугольника. Это построение является результатом анализа. В качестве примера рассмотрим построение стороны правильного тетраэдра (см. рисунок).
- Предыдущая
- 18/30
- Следующая