Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон - Страница 8

Рассмотрим два небесных объекта с массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние r. Примем за

«единичный вектор» длиной 1 (неважно, в каких единицах), направленный от объекта 2 к объекту 1. Ньютон говорит, что сила притяжения объекта 1, воздействующая на объект 2, будет равна

(window.adrunTag = window.adrunTag || []).push({v: 1, el: 'adrun-4-144', c: 4, b: 144})

(2.2)

Число G — гравитационная постоянная, которая определяет величину силы тяготения. С точки зрения объекта 2 объект 1 является источником гравитации — физического свойства, создающего силу, — и наоборот.

Это уравнение немного сложнее предыдущих, но если сесть и подумать о нем, мы снова увидим пропорциональность двух векторов: силы

, с которой объект 1 воздействует на объект 2, и единичного вектора , который направлен от объекта 2 к объекту 1. Сложный вид уравнения объясняется тем, что коэффициент пропорциональности представляет собой произведение гравитационной постоянной, двух масс и обратного квадрата расстояния. В результате мы можем точно определить, как сильно Солнце воздействует на планеты: чем ближе к нему, тем сильнее.

При помощи двух простых правил — второго закона (2.1) и закона всемирного тяготения (2.2) — Ньютону удалось воспроизвести все законы Кеплера. Более того, он показал, что сила тяготения сферического объекта в точности равна силе тяготения точки, обладающей такой же массой и расположенной в его центре. Поэтому, если мы принимаем модель, в которой планеты и Солнце — большие шары, мы с тем же успехом можем считать их точками. Кроме того, можно усложнить эту модель: рассматривать не обособленные пары из Солнца и одной планеты, а целиком всю Солнечную систему. Благодаря законам Ньютона мы можем понять, как на движение других планет влияет, к примеру, Юпитер (самая большая планета). Именно так небесная механика стала столь точной наукой, что позволяет нам отправлять на Луну ракеты.

Локальный подход

Мы не будем подробно рассматривать законы Кеплера в интерпретации Ньютона, лишь подчеркнем философские различия между двумя подходами к динамике планет (а значит, и к физике в целом). Кеплер говорит, что планеты движутся по эллипсам, делает предположения о скорости движения. Это глобальное утверждение, которое описывает орбиту в целом. Чтобы проверить его, нужно дождаться, когда планета сделает оборот вокруг Солнца, а затем проанализировать собранные данные.

Делая те же выводы, что и Кеплер, Ньютон идет совершенно иным путем. Он принимает за отправную точку какой-то конкретный, локальный момент времени и данные о планете, известные на этот момент: скорость, местоположение, действующие силы. Посредством второго закона он вычисляет ускорение, а затем экстраполирует результаты, чтобы понять, что будет с планетой в будущем.

Парадигма Лапласа в действии. Впервые предложенная Ньютоном, получившая философское осмысление в трудах Лапласа и развитая в дальнейшем другими учеными, в том числе Гамильтоном, она утверждает, что весь объем данных, необходимых, чтобы понять дальнейшее либо прошлое развитие системы, содержится в любом произвольно выбранном ее состоянии. В простой системе (как, например, планеты и Солнце) состояние можно описать положением и скоростью каждого из ее элементов. Вы можете возразить: нужны еще силы, которые воздействуют на планеты. Это действительно так. Но силы определяются скоростью и положением других элементов системы. И если у нас эти данные есть, мы готовы к работе.

Чтобы справиться с этой задачей, нужно решить два важных вопроса. Во-первых, мы говорим о скорости изменения различных величин. Скорость движения показывает, как быстро меняется положение в пространстве, ускорение — как быстро меняется скорость. Как выразить эти понятия в числах? Когда объект движется из одной точки в другую, мы можем определить его среднюю скорость: достаточно разделить пройденное расстояние на проведенное в пути время. Чтобы узнать мгновенную скорость в какой-то точке пути, этого недостаточно. Тут нужно действовать более умно.

Во-вторых, мы хотим воссоздать проделанный путь, то есть определить суммарно пройденное расстояние по известным начальным данным о положении, скорости и ускорении. В самом простом случае, когда объект движется строго с постоянной скоростью, нужно умножить скорость на время движения. Но если во время пути объект ускоряется или же замедляется, делает повороты, этого недостаточно. Здесь также нужно крепко подумать.

Дифференциальное исчисление как раз и дает ответ на вопрос о том, как найти мгновенную скорость и расстояние, пройденное за промежуток времени. Для этого нам нужны производные и интегралы, как называют их математики. Что же, пора засучить рукава.

Функции

Представим себе машину, которая мчится по прямому шоссе. Ее скорость и ускорение представлены векторами, но так как движение прямолинейно, оба они будут направлены в одну сторону, а значит, мы можем представить их числами (положительными либо отрицательными). Также представим себе, что в машине имеется точный одометр, которые отслеживает и регистрирует ее положение в каждый момент времени.

С математической точки зрения мы получили функцию, которая определяет положение машины x в зависимости от времени t. Функция устанавливает соответствие между двумя величинами. Мы можем взять одну из них, пропустить ее через функцию и получить другую. При этом величины могут быть выражены числами, множествами чисел или чем-нибудь более сложным. Входная величина называется аргументом функции, а выходное значение соответствует этому аргументу.

Функция: аргумент → значение

f: t → x.

Функцию, которая показывает зависимость х от t, можно записать как х = f(t) или, для краткости, просто х(t). Мы можем использовать любые буквы, главное — не забыть, что они означают. Если мы примем за x и y координаты на местности, мы можем выразить высоту рельефа в любой его точке как функцию h(x, y). То есть величина x в каких-то случаях может быть входным значением функции (аргументом), а в других — выходным.

В случае с машиной аргументом будет время t, а функция х(t) — возвращать координату x в соответствующий момент времени. Мы можем нарисовать ее график. Возможно, вам уже знакомы некоторые типовые функции вроде t2 или sin(t). Идея тут в том, что что функция устанавливает однозначное соответствие между значениями t и x, даже если его нельзя записать какой-то простой формулой.

Под «однозначным соответствием» мы понимаем, что каждому значению аргумента противопоставлено одно и только одно выходное значение. Значения могут повторяться: машина может несколько раз проехать какое-то место на дороге, однако в каждый момент времени t она будет только в какой-то одной точке x. График функции может изгибаться вверх и вниз, но не петлять влево или вправо.

Производные

Имея функцию x(t), то есть зависимость положения от времени, мы можем задаться вопросом, какова скорость машины в тот или иной момент. Мы знаем, что скорость показывает, насколько быстро меняется положение. Но как ее вычислить, зная x(t)? Для этого нам недостаточно знать, где машина сейчас: нужно учесть, где она была в другие моменты времени.