Вы читаете книгу
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике
Коллектив авторов
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Коллектив авторов - Страница 25
Иногда же слово «парадокс» используется как синоним «удивительного» или «противоречащего ожиданиям», а никак не «логического противоречия». Например, X0 + 1 = X0 «парадоксально», поскольку мы воспринимаем только конечные количества и думаем, что при добавлении нового элемента к определенному множеству в результате их количество увеличится. С другой стороны, X0 + 1 = X0 свидетельствует о том, что в случае с бесконечностью количество останется прежним.
Хоть это и удивительно, но равенство X0 + 1 = X0 не является парадоксом в смысле логики, поскольку оно не таит в себе никакого логического противоречия. Оно просто подчеркивает, что правила, по которым существуют бесконечные количества, отличаются от конечных.
Мы будем использовать термин «парадокс» в первом значении, имея в виду логическое несоответствие какой-либо теории. Вернемся же к парадоксу, который Кантор обнаружил в 1883 году. Он заключался в том, что последовательность ординальных чисел порождается в соответствии с двумя принципами. Первый гласит, что за каждым ординалом идет непосредственно следующий; по этому принципу сразу за ω идет ординал ω + 1.
У бесконечных множеств есть некоторые любопытные свойства, которые иногда назывались парадоксальными. На самом деле они не парадоксальны, а просто немного удивительны, когда сталкиваешься с ними впервые.
Рэймонд Смаллиан, американский логик, «Сатана, Кантор и бесконечность, в также другие головоломки», 1992 год
Второй принцип утверждает, что если дана произвольная бесконечная последовательность ординальных чисел, непосредственно за ней всегда будет идти еще один ординал, который не является членом этой последовательности. Данный принцип гарантирует, что, например, за бесконечной последовательностью 0, 1,2, 3, 4,... идет новый ординал ω, а за бесконечной последовательностью ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,... — новый ординал ω + ω. Парадокс появляется, когда мы пытаемся применить второй принцип порождения к последовательности, образованной всеми ординалами, назовем ее С. Действительно, согласно второму принципу, если мы возьмем последовательность всех ординалов С, то сразу же за ней будет идти новый ординал, который не является частью С. Обозначим его как О (греческая буква омикрон). Поскольку С содержит все ординалы, то в нем будет и О. Но ведь его там нет. Получается, что О обладает двумя противоречащими друг другу характеристиками: он не является частью С, но одновременно является. Мы обнаружили парадокс (см. рисунок).
Чтобы решить эту проблему, Кантор ввел третий принцип порождения — третье правило, по которому второй принцип не может применяться к полной последовательности всех ординальных чисел. Другими словами, Кантор заявил, что О не существует.
Схематичное изображение парадокса ординальных чисел.
Хотя это правило действительно решает парадокс, оно не кажется удовлетворительным. Мы как бы даем пациенту обезболивающее, но не находим причину его болезни. Для того чтобы обнаружить эффективное решение, нужно узнать, какой недуг вызвал боль, то есть какая ошибка лежит в основе теории, приведшей к парадоксу.
По мнению Кантора, его глубинной причиной была необходимость сделать различие, которое он ввел в статье 1883 года, между трансфинитным и абсолютно бесконечным. Ученый писал, что к области трансфинитного относятся все бесконечные множества, которые может познать человеческий разум и которыми он может оперировать, как, например, множество вещественных чисел или ординальных чисел первого, второго или третьего классов или еще какой-либо определенный класс. В области абсолютного мы сталкиваемся с множествами, которые «слишком велики» для нашего ума; среди них находится множество, образованное всеми ординальными числами, и универсальное множество (которое включает в себя абсолютно все и о котором речь шла в предыдущей главе). По этому поводу в статье 1883 года Кантор писал так:
«Однако существенное различие состоит в том, что я раз и навсегда закрепляю в соответствии с понятием различные градации собственно бесконечного [так Кантор называет актуальную бесконечность] при помощи числовых классов (I), (II), (III) и так далее и лишь тогда ставлю задачу не только математически исследовать отношения сверхконечных чисел, но указать и проследить их всюду, где они встречаются в природе. Что на этом пути нам, продвигаясь все дальше, не удается достичь никакой непереходимой границы, получить хотя бы только приближенное постижение абсолютного, — это не подлежит для меня никакому сомнению. Абсолютное можно лишь признать [то есть признать его существование], но никогда не познать, хотя бы приближенно».
Абсолютное, считает Кантор, подчиняется другим правилам, нежели трансфинитное, — правилам, которые мы даже не можем сформулировать, потому что не можем их познать. Следовательно, парадокс рождается, в сущности, из-за ошибочной попытки применить к абсолюту правила трансфинитного. Третий принцип порождения ординальных чисел, состоящий в том, что определенное правило трансфинитного не применимо к определенному абсолютному множеству, таким образом, создан не специально для конкретного случая, а является следствием философии, на которой основывается теория множеств. Аналогично решение парадокса Кантора (см. предыдущую главу) заключается, по мнению самого ученого, в том, чтобы просто-напросто заявить, что к универсальному множеству, относящемуся к области абсолюта, нельзя применить теорему, которая утверждает, что за каждым множеством идет еще одно с большей мощностью (см. рисунок). Надо сказать, что в действительности в работе 1883 года замечания об абсолютном, подобные приведенному выше, чаще встречаются в примечаниях, внесенных в основной текст позже, и наличие в теории множеств противоречий было на тот момент только что открыто. Сдержанность Кантора, возможно, должна была предотвратить нападки на его теорию и была результатом трезвого расчета. Об этом свидетельствует письмо, которое Кантор написал Гильберту 15 ноября 1899 года. В нем, говоря о своей философии и о различии между трансфинитным и абсолютным, он упоминает следующее: «Философия, которую вы можете найти в «Основах», изданных в 1883 году, особенно на последних страницах, выражена довольно ясно, но частично непонятно, и это сделано намеренно».
Дедекинд, который тоже работал в то время с понятиями теории множеств, казалось, не замечал никаких парадоксов, и сам Кантор после депрессии, поразившей его в 1884 году, полностью оставил эту тему на продолжительное время. Вопрос парадоксов теории множеств канул в Лету и был «открыт вновь» в 1897 году.
Схема парадокса Кантора, по которому существует множество, большее, чем то, которое уже содержит в себе все.
С 9 по 11 августа 1897 года в Цюрихе (Швейцария) проходил Первый международный конгресс математиков, в котором приняли участие более 200 ученых из 16 стран мира, в том числе Гильберт и Кантор. На этом конгрессе теория множеств получила международное признание, а многие выступления были посвящены применению понятий теории множеств — в основном в области исчисления.
Кто из нас не обрадовался бы, если бы ему удалось поднять пелену, скрывающую будущее, увидеть будущий прогресс нашей науки и тайны ее развития в последующие века?!
Давид Гильберт на Втором международном конгрессе математиков
В беседах, которые участники вели между заседаниями, постоянно проявлялся волнующий всех вопрос... об открытии парадокса в теории множеств. В марте 1897 года в бюллетене Палермитанского математического кружка итальянский логик и математик Чезаре Бурали-Форти (1861-1931) опубликовал статью под названием «Вопрос о трансфинитных числах», в которой вновь открывал парадокс об ординальных числах. В 1883 году Кантор не дал точной формулировки парадокса, и он стал известен только после знаменитой работы Бурали- Форти, посему и получил его имя. Интересно, что итальянский ученый тоже присутствовал на конгрессе и выступил с докладом, правда по геометрии.
- Предыдущая
- 25/30
- Следующая