Вы читаете книгу
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике
Коллектив авторов
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике - Коллектив авторов - Страница 24
Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 23; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 24, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2X0 X1 ?».
Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3X0 больше 2X0 , однако это не так. На самом деле 2X0 = 3X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.
Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X1? для этих ординальных чисел существует 2X1 возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2X1 больше 2X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X1 больше X0 , то и 2X1 обязательно больше 2X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X13 не больше 2X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X1 ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X1 цифр, то есть по цифре на ординал.
У покрытий ординалов второго класса более сложная структура, чем у N. Чтобы определить покрытие N, достаточно просто сказать, что оно «начинается с 01 и продолжается, повторяя эти цифры». Эта фраза полностью описывает покрытие 010101..., поскольку, пользуясь этим единственным правилом, мы знаем, какой цифрой — 0 или 1 — покрывать каждое натуральное число.
Но этого определения недостаточно для полного описания покрытия ординальных чисел второго класса, так как они устроены сложнее, чем натуральные числа. Ординалы второго класса начинаются с ω, ω + 1, ω + 2, ..., после бесконечного числа этапов переходят κω + ω,ω + ω+ 1,ω + ω + 2,..., после бесконечных переходов — к ω + ω + ω... и после бесконечного числа бесконечных переходов — κω + ω + ω + ω... (ω, взятому бесконечное число раз), ω + ω + ω + ω... (ω, взятое бесконечное число раз) + 1... и так далее.
Таким образом, если мы говорим, что покрытие ординалов второго класса «начинается с 01 и состоит из повторения этих цифр», это подскажет нам, какова будет только первая часть последовательности ω, ω + 1, ω + 2,... Перейдя κω + ω, мы должны указать способ начать покрытие заново. Оно может быть снова 01 или каким-то другим. И опять, когда мы дойдем до ω + ω + ω, мы должны будем начать все сначала; потом все сначала, дойдя до ω + ω + ω + ω, и так далее.
Если мы решим начинать каждый раз с 01, то у нас получится «базовое» покрытие N 010101..., которое будет повторяться несчетное количество раз.
Континуум-гипотеза гласит, что 2X0 = X1. Кантор не смог ни доказать, ни опровергнуть это утверждение. Обобщенная континуум-гипотеза была сформулирована Кантором в его «Обоснованиях» и расширяет предыдущую. По ней, не только 2X0 = X1 но и 2X1 = X2, 2X2 = X3, 2X3 = X4 и так далее. При жизни ученый так и не узнал, верные эти гипотезы или ложные.
Членами множества 'P(N) являются все множества, которые можно образовать с помощью членов N. Эту идею, разумеется, можно обобщить. Если А — произвольное множество, то множество, члены которого — все множества, которые можно создать посредством элементов А, будет называться 'P(A) (читается «части А»), Как 'P(N) имеет мощность 2X0 , так же можно доказать, что 'P(N) имеет мощность, равную «2 в степени мощности A». Если бы континуум-гипотеза была верной, то мощность 'P(R) равнялась бы 2X1 .
Мы знаем, что N счетное, a 'P(N) — нет; другими словами, мощность Τ(Ν) больше, чем Ν. Это тоже можно обобщить. Согласно теореме Кантора, мощность 'P(А) всегда будет больше А. Одним из следствий теоремы Кантора является то, что для любого множества всегда будет существовать большая мощность, но только в тех случаях, когда речь идет о множествах, образованных ординальными числами. Теорема Кантора позволяет распространить это утверждение на все множества, вне зависимости от того, какова природа их членов. Возьмем универсальное множество, то есть содержащее в себе все, абсолютно все возможное. По теореме Кантора, существует множество с большей мощностью. Но может ли быть мощность, превышающая мощность множества, в котором содержится вся Вселенная? Такого большого множества не может существовать, однако теорема Кантора утверждает обратное.
Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. В теории множеств обнаруживается еще один парадокс, известный как «парадокс Кантора». В начале XX века был открыт третий парадокс, названный именем Бертрана Рассела. Без преувеличения можно утверждать, что он вызвал настоящий кризис в математике. В следующей главе мы рассмотрим все парадоксы теории Кантора и проанализируем влияние, которое они оказали на математику.
ГЛАВА 5
Парадоксы бесконечности
В одном письме 1902 года английский логик Бертран Рассел сформулировал очень простой вопрос, спровоцировавший, тем не менее, глубокий «кризис» в математической науке. Он затянулся почти на 30 лет, а его последствия ощутимы и сегодня. Вопрос Рассела был таков: «Является ли это множество, о котором я говорю, частью самого себя?»
В 1883 году, когда Кантор написал статью «Основы общего учения о многообразиях», он уже понимал, что его теория содержит как минимум один парадокс. Но что такое парадокс? На самом деле это слово используется в литературе и разговорном языке в разных значениях, не всегда совпадающих друг с другом. В логике парадокс обнаруживается, когда в рамках одной теории можно одновременно доказать существование и несуществование какого-либо объекта или когда свойства чего-либо противоречат друг другу. Таким образом, парадокс означает, что с точки зрения логики теория несостоятельна. В этом смысле можно утверждать, что Кантор действительно обнаружил в своей теории парадокс, или логическое противоречие, а это всегда плохой признак, поскольку он означает, что в основе теории есть ошибка — лакуна, которую надо обнаружить и устранить.
- Предыдущая
- 24/30
- Следующая