В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович - Страница 22

Остановимся.

Все. Задача решена. Пятый постулат уже доказан. Остальное дело очень несложной техники. Посмотрите на чертеж. Сумма углов в треугольнике CDF и BED непременно меньше π. Действительно, теорема 1 запрещает ей быть больше π, а теорема 2 плюс существование Δ ABC исключают возможность быть равной π.

Насколько меньше, нам совершенно неважно. Более того, на самом деле нам нужно только одно: сумма углов в этих треугольниках не должна превышать π. Теперь остались мелочи. Посмотрим на большой Δ AEF. И найдем сумму его углов. Проделаем это несколько окольным путем.

Всего у нас четыре маленьких треугольника. Сумма всех их углов равна: 2(π – α) + (π – γ) + (π – δ) = 4π – 2α – γ – δ.

Теперь обратим внимание на то, что эту же сумму можно записать несколько по-другому. Из углов наших маленьких треугольников у точек С, В и D организуются три угла, равные π каждый. Остаются еще углы у вершин A, E и F. Но сумма этих углов и есть сумма углов Δ AEF.

Итак:

сумма углов Δ AEF + 3π = 4π – 2α – γ – δ.

И потому:

сумма углов Δ AEF + 3π = 4π – 2α – γ – δ.

Теперь начинается цепная реакция. Дословно повторив все наше построение для Δ AEF, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (π – 4α). Далее, построим треугольник с суммой углов меньше, чем (π – 8α). Короче, как бы ни было мало α, мы сможем построить такой треугольник, что сумма его углов отрицательна. Но это явный абсурд. Наше предположение привело к нелепости. Теорема доказана. Сумма углов треугольника не может быть меньше π. Доказательство действительно прекрасно. Для профессионала его можно записать на трех строчках. В дополнительных построениях всего две операции.

Но… предположить, что через точку внутри угла всегда можно провести прямую, встречающую обе его стороны, означает, что вместо пятого постулата мы вводим его эквивалент. И Лежандр понимает это. Но от столь красивого решения отказываться жаль. И уже совсем по-человечески он несколько жалобно объясняет, что за <A выбран тот из углов, что меньше 60°(π/3). Тогда легче поверить в его предпосылку. Поверить действительно легче. Но дела это не меняет. Доказать это утверждение без помощи пятого постулата нельзя. И в итоге Лежандр отказался от своего доказательства.

Более того.

Пусть <A произвольно мал. Меньше любого наперед заданного числа. Меньше, например,

секунды. Даже в этом случае нельзя доказать предположение Лежандра. Если бы это было возможно, сразу был бы доказан пятый постулат. Для точек внутри угла, достаточно близких к вершине, гипотезу Лежандра, конечно, можно доказать строго. Но только для близких. А при нашем построении, чтобы получить противоречие, надо все дальше уходить от вершины.

Если продолжить анализ на пути Лежандра, то на свет выплывает много забавных эквивалентов пятого постулата.

По существу, на этом пути можно получить много теорем неевклидовой геометрии. Для развлечения можно предложить такую задачу. Анализируя предпосылку Лежандра, показать: пусть <C — угол при вершине семейства равнобедренных треугольников: ACB, A′CB′, A″CB″ и т. д.

Допустив, что в этом семействе всегда найдется треугольник с высотой, большей любого наперед заданного числа, мы докажем пятый постулат. Не правда ли, это довольно неожиданный, очень естественный на вид эквивалент «пятого»! Он довольно просто находится при анализе доказательства Лежандра. Несколько забегая вперед, отметим, что в геометрии Лобачевского правильна противоположная теорема.

Большинство прочих авторов не шли так далеко, как Лежандр. Они запутывались в самом начале.

Но были и более интересные работы.

В 1889 году итальянский геометр Бельтрами обнаружил забытую работу своего соотечественника иезуита Иеронима Саккери, который еще в 1733 году предвосхитил и превзошел все результаты Лежандра.

До этого времени считалось, что именно Лежандр показал:

1. Не прибегая к пятому постулату Евклида, при помощи остальных аксиом можно доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше двух прямых, больше 180° (> π).

2. Если справедлив пятый постулат, то сумма углов хотя бы в одном треугольнике точно равна 180° (равна π).

Отсюда следовал вывод:

Если несправедлив пятый постулат, то сумма углов во всех треугольниках меньше 180° (< π).

Лежандру хотелось верить, что он опроверг и эту возможность, но… впрочем, мы уже говорили об этом.

Так вот оказалось, что Саккери получил все эти результаты значительно раньше. Более того, его исследование, цепочка его теорем тянется значительно дальше, чем у Лежандра. Правда, отправной пункт у него несколько другой. Он идет не от треугольника, а от четырехугольника, так же как несколько столетий ранее Хаййам.

Построение его таково.

1. Возьмем отрезок AB.

2. Из крайних точек А и В восстановим перпендикуляры и отложим на них отрезки AA′и BB′ равной длины.

3. Соединим А′ и B′ прямой. Получим четырехугольник.

4. Возьмем середины оснований С и С′ и соединим их прямой.

5. Возьмем «второй тождественный экземпляр» четырехугольника АА′ВВ′ четырехугольник А1А1′В1В1′ и наложим его на первый так, чтобы сторона В1В1′ легла на сторону AA′.

Тогда легко доказать, что угол А′ равен углу B′, а прямая CC′ перпендикулярна к обоим основаниям. Читатели сами могут докончить строгое доказательство этой теоремы, могут также получить этот результат и несколько по-другому, использовав соображения симметрии.

Для угла А′ и B′ есть три возможности:

1. Они равны 90°(= π/2);

2. Они острые, то есть меньше 90°(< π/2);

3. Они тупые, то есть больше 90°(> π/2).

Саккери показывает прежде всего, что если любая возможность осуществилась в одном каком-то четырехугольнике, то она осуществится и во всех возможных четырехугольниках такого типа.

Далее он доказывает, что:

1. Если справедлива «гипотеза тупого угла», то сумма углов любого треугольника больше π.

2. Если справедлива «гипотеза прямого угла», то сумма треугольника равна π.

3. Если справедлива «гипотеза острого угла», то сумма углов треугольника меньше π.

Далее он доказывает, что «гипотеза прямого угла» эквивалентна постулату Евклида.

Следовательно, чтобы доказать пятый постулат, нужно отвергнуть две другие гипотезы.

С «гипотезой тупого угла» Саккери расправляется весьма быстро и абсолютно строго.

Остается «гипотеза острого угла». И здесь оказывается, что все предыдущее только присказка, сказка впереди.

Почти на ста страницах Саккери разбирает следствия этой поистине сатанинской «гипотезы острого угла».

Он получает теоремы одна страннее другой, но отлично понимает до поры до времени, что внутреннего противоречия в них нет. Но вдруг ему мерещится: он нашел. И он объявляет решительно и безоговорочно: вот доказательство, вот божественная искра, испепеляющая эту гипотезу.

«Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии».

И здесь враг рода человеческого улавливает Иеронима Саккери. Он ошибается. Грубо ошибается.