Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике - Страница 9
Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключается в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.
Окружность — это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Пока этого не происходит, речь идёт о потенциальной бесконечности.
КВАДРАТУРА СТОЛА
Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.
Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.
Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.
Иррациональные числа
Без чисел 1, 2, 3, …, которые мы обычно используем при счёте, во время измерений не обойтись. Если мы возьмём, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесём на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.
Допустим, что наша единица измерения задаётся отрезком ОА, и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.
Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.
Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.
Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС, изображённый на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.
Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:
С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике
выполняется равенство
Таким образом, длина гипотенузы равна 5.
Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчёта в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD.
Применив теорему Пифагора, получим
Таким образом,
откуда OD = √2.Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.
Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.
По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Логично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.
В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить доказательство того, что √2 не является рациональным (доказательство, изложенное на языке современной математики, приведено в приложении).
Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень точно характеризует их природу. Однако более серьёзная проблема заключается в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и стороной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чисел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что открытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории греческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвящённые, одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.
Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная разница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 = 0,333333333 … — в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков, однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.
Число вида (325/100) = 3,25 имеет всего два десятичных знака.
(95/99) = 0,4545… имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз (эта группа цифр называется периодом).
(47113/ 9000) = 5,2347777… представляет собой ещё один вид десятичных дробей, в записи которых период появляется после непериодической части.
Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби, цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с помощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение √2? Ответ: нам известно лишь его приближённое значение, хотя точность может быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная дробь полностью находится под нашим контролем.
- Предыдущая
- 9/29
- Следующая