Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике - Страница 16
Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.
Ньютон
Исаак Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком, внёс чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые определяются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно:
ТАИНСТВЕННАЯ НАУКА
«Математические начала натуральной философии» Ньютона всегда считались непростыми для понимания — это неудивительно, если учесть, что Ньютон умышленно усложнил свою работу.
Как-то раз он признался другу, что поступил так, чтобы «избежать атак со стороны шарлатанов от математики»: предыдущие работы Ньютона, посвящённые природе света, уже подвергались ожесточённой и не всегда оправданной критике. Некоторые из полученных результатов Ньютон и вовсе записал шифром. Следующая последовательность букв и цифр
6а сс d ае 13eff7i 31 9n4о 4q rr 4s 9t 12vx
отнюдь не сложный ключ или числа из компьютерной программы. Это так называемый логогриф — способ шифрования, который Ньютон использовал для описания своего метода анализа флюксий, чтобы Лейбниц не смог прочитать его записи и приписать их авторство себе. Говорят, что последнему понадобилось бы потратить на расшифровку так много сил, что быстрее было бы самостоятельно прийти к аналогичным результатам.
Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера.
Суть метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых второго члена уравнения мы всё больше и больше приближаемся к истинному значению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления, достаточно знать желаемую величину ошибки, но если необходимо проанализировать логарифмическую функцию и изучить её поведение, нужно, пусть и неявно, признать существование актуальной бесконечности как суммы ряда. Единственный комментарий Ньютона на эту тему содержится в его работе «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»:
«…Действительно, рассуждения в нём не менее достоверны и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все члены этих уравнений так, чтобы точно узнать из них искомые величины».
Здесь мы снова видим прагматичный подход Ньютона: учёный говорит, что наши способности воспринять актуальную бесконечность ограничены, но он признаёт её существование как результат рассматриваемых уравнений с бесконечным числом членов.
Во втором издании своей работы «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых», вышедшем в 1736 году (сама работа датирована 1672 годом), Ньютон использует так называемый метод флюксий. Этот метод предполагал интересный переход: Ньютон перестал рассматривать бесконечно малые как нечто статическое и наделил их способностью двигаться. Он рассматривал переменную как непрерывно движущуюся точку (этим же свойством он наделил прямые и плоскости) и назвал флюентами переменные, обладающие этими свойствами, а флюксией — результат такого движения, то есть сравнение двух различных состояний такой точки. Мы не будем подробно описывать метод флюксий Ньютона и лишь повторим, что Ньютон не считал необходимым использовать в своих вычислениях бесконечно малые величины, так как это могло привести к различным противоречиям.
Он рассматривает эти величины
«…не как состоящие из небольших частей, но как описывающие непрерывное движение. Линии описываются и, следовательно, создаются не наложением точек, а непрерывным движением точек».
С помощью метода флюксий Ньютону удалось найти касательные к кривым, площади подграфиков, длины кривых, а также максимумы и минимумы функций и точки перегиба для различных кривых. Ему удалось сделать это, избежав проблем, связанных с использованием бесконечно малых величин, однако за это ему пришлось заплатить свою цену. Анализ, построенный на этих предпосылках, имел важные ограничения и открыл путь к другим разделам математики, где властвовали дифференциалы — странные бесконечно малые математические объекты, неразрывно связанные с актуальной бесконечностью.
Метод флюксий изложен во французском издании книги Ньютона, вышедшем в 1740 году.
Лейбниц
Первые математические труды Готфрида Лейбница (1646–1716) были посвящены комбинаторике. В них уже проявилась гениальность учёного, однако они были устаревшими и имели определённые черты, характерные для средневековой науки, которой в немецких университетах той эпохи уделялось большое внимание. В 1672 году Лейбниц отправился в Париж с важной дипломатической миссией. Именно тогда основным родом его занятий стала математика — отчасти это произошло под влиянием Христиана Гюйгенса, который познакомил Лейбница с последними математическими открытиями.
В этот период Лейбниц пишет первые работы, посвящённые суммам бесконечных рядов. Одним из наиболее примечательных результатов стал полученный им и названный в его честь ряд, в котором устанавливается неожиданная связь между числом π и нечётными числами:
π/4=1−(1/3)+(1/5)−(1/7)+(1/9)−(1/11)+…
Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бесконечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математическому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с помощью знаков d и
введённых им для обозначения дифференциала и интеграла, стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математических понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «позволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок».Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощённом виде на языке современной математики.
СПОСОБНОСТИ К ЯЗЫКАМ
Лейбниц был сыном известного юриста и в шесть лет остался сиротой. Учился он самостоятельно и все силы отдал изучению латыни, так как именно на ней было написано большинство книг в библиотеке, оставшейся от отца. В десять лет Лейбниц уже читал классические труды на латыни и греческом, а в 13 — писал гекзаметром на латыни. Подобными выдающимися способностями к языкам отличается большинство известных математиков.
- Предыдущая
- 16/29
- Следующая