Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике - Страница 15
В настоящее время науки отделены от философии, но это не означает, что философия не оказывает на них никакого влияния — мы просто меньше осознаём их взаимосвязь.
Основные результаты Декарта, полученные им помимо других важных открытий, в частности классификации кривых и работ по коническим сечениям, изложены в труде «Геометрия». Декарт считал, что решение геометрических задач часто требует излишних умственных усилий, направленных на то, чтобы мысленно представить расположение фигур. Он создал систему, в которой фигуры представлялись как множество точек, каждой из которых можно было поставить в соответствие числа. Таким образом, геометрическая задача сводилась к алгебраической, а многие алгебраические задачи стало возможно решить геометрическими методами. Говорить о том, что в его работах заложены основы аналитической геометрии, было бы преувеличением, однако можно с абсолютной уверенностью утверждать, что в них была впервые описана декартова геометрия.
Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в которой он говорил не о бесконечном, а о неопределённом. Он признавал существование бесконечно большого, заявляя, что число звёзд на небе не определено, и существование бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена понятий была умышленной, и Декарт оправдывал её тем, что слово «бесконечность» должно использоваться только применительно к Богу. Учёный принимал возможность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Таким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной бесконечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими ограничениями, что не помешало учёному согласиться с существованием потенциальной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши представления о бесконечности врождёнными.
ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ
В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта в Швецию: она хотела учиться у него философии. Декарт воспользовался возможностью покинуть среду, где философские споры с голландскими протестантами постепенно становились всё более и более ожесточёнными.
По легенде, королева любила прохладу, и аудиенции обычно проходили в залах с открытыми окнами, из-за чего длились очень недолго. Декарт счёл себя обязанным давать королеве уроки в таких же условиях. Кроме того, по привычке он начинал занятия очень рано: экипаж забирал его в половине пятого утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять месяцев спустя Декарт заболел пневмонией и 11 февраля 1650 года умер.
Фрагмент картины «Диспут королевы Кристины и Декарта» французского художника Пьера-Луи Дюмениля. Версаль.
Глава 4. Математический анализ
История математического анализа очень увлекательна, а его постепенному развитию сопутствовали споры, касавшиеся бесконечности, в частности бесконечно малых величин, поэтому математический анализ также называется анализом бесконечно малых.
Анализ бесконечно малых
Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно малые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдающихся учёных, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода восходят ко временам Евклида.
Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин, связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и неделимые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематически описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньютоном и Лейбницем.
Отметим ещё одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому времени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не использовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адаптироваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию, позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометрическую фигуру, чётко определённую на языке функций. Наиболее вероятно, что траектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли, «тем хуже для снаряда».
Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых понятий: тело и материальная точка. Первое ввёл Декарт, а второе — Ньютон. Яблоко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести к материальной точке.
Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный прикладной характер: её задачи имели исключительно практическую направленность.
Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти углы отсчитываются от нормали, проведённой к отражающей поверхности в заданной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести перпендикуляр в заданной точке, но если речь идёт о криволинейной поверхности, как в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке — это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.
Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.
Ещё один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернёмся к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной дальности полёта снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависимости от угла наклона орудия.
Следующие четыре нерешённые задачи предопределили зарождение математического анализа, или анализа бесконечно малых:
— построение касательной к кривой в точке;
— расчёт максимумов и минимумов функции;
— расчёт квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или несколькими кривыми;
— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя её точками.
Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.
Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа, в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками бесконечности, которые они решили каждый по-своему.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА
С помощью интегралов можно рассчитывать не только площади плоских фигур, но также длины кривых, объёмы тел, ограниченных произвольными поверхностями, и тел вращения. В общем случае интегралы позволяют найти любое значение, выраженное в виде бесконечной суммы бесконечно малых величин, то есть почти всё что угодно. Сфера практического применения интегралов столь широка, что они образуют отдельный раздел прикладной математики. Вне зависимости от того, где выполняется вычисление интегралов, на маленьких калькуляторах или в мощных компьютерных программах, сложно представить инженера, которому не требовалось бы интегральное исчисление. В 1770 году швейцарский математик Леонард Эйлер (1707–1783) создал трёхтомный труд по интегральному исчислению. В некотором смысле все современные книги по математическому анализу являются всего лишь изменёнными и обновлёнными изданиями этого труда, в котором даже спустя 150 лет после публикации никто не смог найти ни единого недочёта. По этой причине «Интегральное исчисление» Эйлера считается важнейшей работой по математическому анализу из когда-либо написанных.
- Предыдущая
- 15/29
- Следующая