Вы читаете книгу
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Беллос Алекс
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс - Страница 84
Примерно в то же самое время, когда математики исследовали противоречащие здравому смыслу неевклидовы пространства, великий немецкий ученый Георг Кантор (1845–1918) перевернул вверх ногами наше понимание другого математического понятия — бесконечности. Кантор преподавал в Университете Галле-Виттенберг в Германии, где он и развил новаторскую теорию чисел, в которой бесконечность может иметь более одного размера. Идеи Кантора были столь необычны, что поначалу вызывали лишь насмешки. Многие математики того времени их совершенно не воспринимали. Анри Пуанкаре, например, отзывался о работах Кантора как о «заболевании, позорной болезни, от которой математика когда-нибудь излечится», а Леопольд Кронекер — профессор математики в Берлинском университете, учитель Кантора, — отвергал его как «шарлатана» и «развратителя юношества». Эта словесная война, надо думать, не прошла для Кантора даром и во многом обусловила нервный срыв, случившийся с ним в 1884 году, когда ему было 39 лет. То был первый из многочисленных эпизодов в его жизни, связанных с глубокой депрессией и пребыванием в клиниках. В своей книге о Канторе «Всё и более» Дэвид Фостер Уолис пишет: «В наши дни Психически Больной Математик занимает, по всей видимости, место, в предыдущие эпохи зарезервированное за Странствующим Рыцарем, Святым Мучеником, Терзающимся Художником и Сумасшедшим Ученым, представляя собой некое подобие Прометея, который отправляется в запретные края и возвращается с дарами, которыми готовы воспользоваться все, но за которые платит он один». Литература и кино во многом ответственны за придание связи между математикой и безумием этакого налета романтизма. Подобное клише удовлетворяет сюжетно-тематическим требованиям, предъявляемым к голливудскому сценарию (основной пример — «Игры разума»), но, конечно, представляет собой некорректное обобщение; и тем не менее великим математиком, стоящим за этим архетипом, вполне мог бы быть Кантор. Данный стереотип подходит к нему особенно хорошо, поскольку он вступил в схватку с бесконечностью — концепцией, связывающей математику, философию и религию. Он не только бросал вызов математическим доктринам, но и создавал основы абсолютно новой теории познания, которая для него была еще и способом понять Бога; неудивительно, что в процессе этих свершений он серьезно задел некоторых людей.
Бесконечность — это одна из самых головоломных концепций в математике. Мы уже видели ранее, при обсуждении парадоксов Зенона, что попытка представить себе бесконечное число все уменьшающихся расстояний полна математических и философских ловушек. Греки изо всех сил старались избегать бесконечностей. Евклид выражал идеи математической бесконечности через отрицательные утверждения. Например, его доказательство того, что имеется бесконечное число простых чисел, есть по существу доказательство отсутствия самого большого простого числа. Древние стеснительно избегали обращаться с бесконечностью как с самодостаточной концепцией, и именно поэтому бесконечный ряд, неизменно присутствующий во всех парадоксах Зенона, до такой степени ставил их в тупик.
К XVII столетию математики возжелали освоить операции, включающие бесконечно много шагов. Работы Джона Уоллеса, который в 1655 году ввел символ ? для бесконечности, чтобы использовать его в своей работе о бесконечно малых, расчистил дорогу для математического анализа Исаака Ньютона. Открытие полезных соотношений, включающих в себя бесконечное число членов, например, ?/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …, показало, что бесконечность не так уж враждебна, и тем не менее ученые все равно относились к ней с осмотрительностью и подозрением. В 1831 году Гаусс проявил житейскую мудрость, заметив, что бесконечность — это «просто способ говорить» о пределе, который никогда не достигается, просто идея, выражающая потенцию продолжать действия бесконечно. Канторова же ересь состояла в рассмотрении бесконечности как вещи в себе.
Причина, по которой математиков до Кантора нервировало отношение к бесконечности как к любому другому числу, состояла в том, что здесь скрывалось множество головоломок, о самой знаменитой из которых Галилей писал в «Двух новых науках» и которая известна как парадокс Галилея:
1. Некоторые числа являются полными квадратами, такими как 1, 4, 9 и 16, а некоторые — не являются полными квадратами, например 2, 3, 5, 6, 7 и т. д.
2. Общее количество чисел должно быть больше количества полных квадратов, поскольку среди всех чисел присутствуют как квадраты, так и неквадраты.
3. Однако же каждое число можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим квадратом:
4. Итак, полных квадратов в действительности столько же, сколько и всех целых чисел. Что есть противоречие, потому что в пункте 2 мы заметили, что целых чисел вообще больше, чем квадратов.
Вывод Галилея состоял в том, что, когда дело доходит до бесконечности, такие числовые концепции, как «больше чем», «равно» и «меньше чем», теряют смысл. Эти термины могут быть понятны и осмысленны в приложении к конечным количествам, но не к бесконечным. Утверждения, что чисел вообще больше, чем квадратов, или что чисел столько же, сколько квадратов, лишены смысла, поскольку вся совокупность как чисел вообще, так и квадратов бесконечна.
Георг Кантор придумал новый способ осмысления бесконечности, который устранил парадокс Галилея. Вместо того чтобы рассматривать отдельные числа, Кантор рассмотрел группы чисел, которые назвал «множествами». Кардинальное число всякого множества есть число членов в этой группе. Так, {1, 2, 3} — множество с кардинальным числом 3, а {17, 29, 5, 14} — множество с кардинальным числом 4. «Теория множеств» Кантора заставляет сердце биться чаще, когда рассматриваются множества с бесконечным числом членов. Он ввел новый символ для бесконечности — ?0 (произносится «алеф-нуль»), используя первую букву древнееврейского алфавита, снабженную нижним индексом, и сказал, что это есть кардинальное число множества натуральных чисел, то есть {1, 2, 3, 4, 5…}. Каждое множество, члены которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами, также обладает кардинальным числом ?0. Таким образом, поскольку имеется взаимно-однозначное соответствие между натуральными числами и их квадратами, множество квадратов {1, 4, 9,16, 25…} имеет кардинальное число ?0. Подобным же образом, множество нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9…}, множество простых чисел {2, 3, 5, 7, 11…} и множество чисел, внутри которых содержится 666, то есть {666, 1666, 2666, 3666…}, — все они имеют кардинальное число ?0. Если имеется множество с бесконечным числом членов и если возможно пересчитать члены один за другим, так что в конце концов каждый будет посчитан, то кардинальным числом такого множества является ?0. По этой причине ?0 стал известен как «счетная бесконечность». Причина же, по которой все это представляется столь замечательным, состоит в том, что Кантор показал, что можно двигаться и дальше. Сколь бы большим ни было ?0, это сущее дитя в семье канторовских бесконечностей.
Я введу бесконечность большую чем ?0, используя историю, которую, как говорят, Давид Гильберт приводил на своих лекциях. История эта — о гостинице со счетно-бесконечным (то есть ?0) числом номеров. Это хорошо известное и весьма любимое математиками заведение иногда называют Гильбертовым отелем.
В Гильбертовом отеле имеется бесконечное число номеров, на дверях которых прибиты таблички 1, 2, 3, 4…. Однажды у регистрационной стойки отеля появляется путешественник и к своему разочарованию узнает, что в гостинице нет свободных мест. Он спрашивает, есть ли хоть какой-нибудь способ найти для него номер. Администратор отеля отвечает, что, конечно, есть. Все, что надо проделать, — это расселить уже имеющихся постояльцев по номерам следующим способом: того, кто жил в номере 1, — переселить в номер 2, того, кто жил в номере 2, — переселить в номер 3 и так далее, переселяя гостя из каждого номера n в номер n + 1. Как только это будет сделано, у каждого из старых постояльцев по-прежнему будут свои собственные апартаменты, а номер с табличкой 1 освободится для вновь приехавшего. Вот и отлично!
- Предыдущая
- 84/88
- Следующая