Для юных математиков. Веселые задачи - Перельман Яков Исидорович - Страница 22

22

Расширить площадь пруда вдвое, сохраняя его квадратную форму и не трогая дубов, – вполне возможно. На чертеже 31-м показано, как это сделать: надо копать так, чтобы дубы оказались против середины сторон нового квадрата. Легко убедиться, что новая площадь вдвое больше прежней: достаточно лишь провести диагонали в прежнем пруде и сосчитать образующиеся при этом треугольники.

Рис. 31.

Решение задачи № 32

Такая поверка недостаточна. Четырехугольник мог выдержать это испытание, и не будучи квадратом. Вы видите на чертеже 32-м примеры таких четырехугольников, у которых все стороны равны, но углы не прямые. В геометрии фигуры с 4 равными сторонами называются ромбами. Каждый квадрат есть ромб, но не каждый ромб есть квадрат.

Рис. 32.

Решение задачи № 33

Эта поверка так же ненадежна, как и первая. В квадрате, конечно, диагонали равны, – но не всякий четырехугольник с равными диагоналями есть квадрат, – как видно из фигур, представленных на черт. 33-м.

Рис. 33.

Паркетчикам следовало бы применять к каждому вырезанному четырехугольнику обе проверки сразу, – тогда они могли быть уверены, что работа сделана правильно. Всякий ромб, у которого диагонали равны одна другой, есть непременно квадрат. Решение задачи № 34

Поверка могла показать только то, что проверяемый четырехугольник имеет прямые углы, т. е. что он прямоугольник. Но равны ли его стороны – этого проверка не удостоверяла, как видно из чертежа 34-го.

Рис. 34.

Решение задачи № 35

Проверка недостаточна. Здесь (черт. 35) начерчено несколько четырехугольников, края которых, при перегибании по диагонали, совпадают. И все-таки – это не квадраты.

Рис. 35.

Такой проверкой можно убедиться только в том, что фигура симметрична, но не более. Решение задачи № 36

Эта проверка не лучше предыдущей. Вы можете вырезать из бумаги сколько угодно четырехугольников, которые выдержат эту поверку, – хотя они вовсе не квадраты. У этих фигур все стороны равны (это ромбы), но углы не прямые – это не квадраты.

Чтобы действительно убедиться, квадратной ли формы отрезанный кусок, нужно, кроме того, проверить также, равны ли их диагонали (или углы) (рис. 36).

Рис. 36.

Решение задачи № 37

Одна линия должна итти от вершины с к середине стороны de, другая – от этой середины к вершине а. Из полученных трех кусков 1, 2 и 3 составляется квадрат, как показано на чертеже (рис. 37).

Рис. 37.

Решение задачи № 38

Сторона квадрата должна быть раз в десять меньше 100 километров. Действительно, квадрат со стороною 10 километров (километр почти равен версте) заключает 10000x10000 = 100000000 квадр. метров. Если на каждом квадратном метре поместить 20 человек, то квадрат указанных размеров вместил бы

100000000x20 = 2000000000 человек, а это больше

1800000000, т. е. населения земного шара.

Итак, чтобы поместить все человечество, достаточен квадрат со стороною менее 10 километров.Решение задачи № 39

Квадраты действительно равны.Решение задачи № 40 Темных пятен никто не делал – их в действительности и нет. Мы видим их только вследствие обмана зрения.

Глава V Задачи о часах

ЗАДАЧА № 41

Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка покрывает другую (рис. 38). Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Рис. 38.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается? ЗАДАЧА № 42 Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, обе стрелки направлены в противоположные стороны (рис. 39). Но только ли в 6часов это бывает, или же есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

Рис. 39.

ЗАДАЧА № 43 В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько же, на сколько часовая находится впереди числа XII на циферблате? А может быть, таких моментов бывает в день несколько? Или же вовсе не бывает?ЗАДАЧА № 44 Наоборот

Если вы внимательно наблюдаете за часами, то, быть может, вам случалось наблюдать как раз и обратное расположение стрелок, чем то, что сейчас описано: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа XII (рис. 40). Когда же это бывает?

Рис. 40.

ЗАДАЧА № 45 По обе стороны шести

Я взглянул на часы и заметил, что обе стрелки отстоят от цифры VI, по обе ее стороны, одинаково. В котором часу это было?ЗАДАЧА № 46 Три и семь

Часы бьют три, и, пока они бьют, проходят три секунды. Сколько же времени должны употребить часы, чтобы пробить семь?

На всякий случай предупреждаю, что это – не задача-шутка и никакой ловушки не скрывает.ЗАДАЧА № 47 Часы-компас

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от I до XXIV часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не в 12, а в 24 часа.

Такими часами можно в ясные дни пользоваться взамен компаса.

Как?ЗАДАЧА № 48 О том же

А нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться и нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определить по ним, хотя бы приблизительно, страны света?ЗАДАЧА № 49 Цифра шесть

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно обладает он карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

– А по скольку раз в день взглядываете вы на свои часы?

– Раз двадцать, вероятно, или около того, – последует ответ.

– Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6.000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6.000x15, т. е. чуть не сто тысяч раз. Вещь, которую вы видели сто тысяч раз, вы, конечно, должны знать и помнить отлично.

– Ну разумеется!

– Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, – но… изображает цифру шесть в большинстве случаев совсем не такою, какою обозначена она на его часах.

Почему?

Ответьте на этот вопрос, не взглядывая на ваши карманные часы.ЗАДАЧА № 50 Тиканье часов

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или на четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что часы ваши идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают итти, и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О ЧАСАХ (№№ 41–50)Решение задачи № 41

Начнем наблюдать за движением стрелок в XII часов. В этот момент обе стрелки друг друга покрывают. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее, чем минутная (она описывает полный круг в 12часов, а минутная в 1 час), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав 1/12 долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит снова у XII – на 1/12 долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая 1/12 круга, т. е. минутная сделала бы на 11/12 круга больше. Но, чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту 1/12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько раз 1/12 меньше 11/12, т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через 1/11часа, т. е. через 60/11 = 5 5/11 минуты.