Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Большая Советская Энциклопедия (ПР) - Большая Советская Энциклопедия "БСЭ" - Страница 95
Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева . Он ввёл одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f (x ) полиномами
ak jk (x ) в метрике С называется величинаEn = min || f - ak jk (x )||c ,
где минимум берётся по всем числам а1 ,..., an . Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xn+1 на отрезке [—1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени n равно 1/2n , а многочлен наилучшего приближения таков, что для него
xn+1 -
= (1/2n ) cos (n + 1) arccosx .Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен
, в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции f в метрике С [—1, 1], если существуют n + 2 точки -1 £ x1 < x2 <... < xn+2 £ 1, в которых разность f (x ) — 2принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.
С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n ® ¥ последовательности En — наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин En в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой — изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.
Для того чтобы функция f была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка
En £ Aq n ,
где q < 1 и А — некоторые положительные числа, не зависящие от n (теорема С. Н. Бернштейна).
Для того чтобы функция f периода 2p имела производную порядка r, r = 0, 1,2,..., удовлетворяющую условию
|f (r) (x + h ) - f (r) (x )| £ M|h |a,
0 < a < 1, М — некоторое положительное число, или условию
|f (r) (x + h ) - 2f (r) (x ) + f (r) (x - h )| £ M|h |a
(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрическими полиномами была справедлива оценка
Еп £ А/n r+a,
где А — некоторое положительное число, не зависящее от n. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна , Ш. Ж. Ла Валле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.
Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.
Для приближений в метрике L2 полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.
Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f и g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции f (x ) можно брать частные суммы её ряда Фурье Sn (f, х ). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега )
||f - Sn ||c £ (Ln + 1) En ,
где Ln — числа, растущие при n ® ¥ как (4/p2 ) lnn . Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы Sn доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке [-1, 1] с узлами
, k = 1, 2,..., n, т. е. в нулях полинома Чебышева cosn arccosx. Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n ® ¥, что и наилучшие приближения.- Предыдущая
- 95/356
- Следующая