Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон - Страница 21

У функции f(x, y) можно взять две частные производные: по x и по y. В первом случае мы дифференцируем ее по x, считая y и а константами. При этом получаем:

(4.6)

(window.adrunTag = window.adrunTag || []).push({v: 1, el: 'adrun-4-144', c: 4, b: 144})

Во втором случае, наоборот, дифференцируем по y, а постоянными считаем x и a:

(4.7)

Функция двух переменных, f(x, y) = xy2. Мы можем взять частную производную по x, приняв y за постоянную, либо наоборот — частную производную по y, приняв за постоянную x.

Вот, в принципе, и все. Чтобы взять частную производную, находим обычную производную по выбранной переменной, считая все остальные константами (и вынося за знак производной). В реальности эта задача бывает ужасно сложной: иногда люди тратят целую жизнь, чтобы найти более удачное решение, чем было получено ранее. Мы же не будем столь пристально их рассматривать. Все, что нам нужно, — понять, откуда взялись уравнения Гамильтона.

Объединим полученные знания. Мы поняли, что уравнения движения для импульса и положения можно получить, продифференцировав соответственно потенциальную и кинетическую энергию. Суммарная энергия, гамильтониан (в данном простом примере) — сумма двух энергий. Взяв частные производные этой суммы, то есть обычные производные по каждой из переменной, мы получим уравнения Гамильтона в самом общем их виде:

(4.8)

Здесь нет опечаток, честное слово! Знак «минус» действительно должен быть в первом выражении, не во втором. На это есть ряд причин, но они покрыты столь толстым слоем математики, что лучше туда не лезть. (Почитайте про «симплектическую геометрию», если интересно.) В левых частях выражений стоят обычные производные (со знаком «d»), а в правых — частные (со знаком «∂»). И это правильно: импульс и положение — функции одной переменной: времени, а гамильтониан — функция двух переменных: импульса и положения. Поэтому нам и нужны частные производные.

Элегантный подход. По философии Ньютона, для каждой части системы будет свое уравнение движения с описанием действующих на нее сил. И рассмотрев их, мы сможем констатировать, что некая величина — «энергия» — сохраняется. По философии Гамильтона, мы поступаем наоборот: берем единственную формулу — гамильтониан, который связывает энергию с импульсом и положением, — а затем выводим из нее все нужные уравнения движения. Все это работает и в более сложных системах, части которых взаимодействуют друг с другом каким-то хитрым образом. В любом случае найдется гамильтониан, единый на всю систему и содержащий в себе все знания по ее динамике.

Механики Ньютона, Лагранжа и Гамильтона — равноценные физические теории, в основу которых положены разные подходы. Поэтому иногда правильный выбор одной из них может весьма облегчить жизнь физика.

Я говорил, что домашних заданий у нас не будет. И все-таки, если вдруг возникает желание потрудиться, попробуйте вывести уравнения Гамильтона для простого гармонического осциллятора, потенциальная энергия которого

. Или даже составить собственный гамильтониан, например для двух осцилляторов, каким-то образом взаимодействующих друг с другом, и посмотреть на то, что из этого выйдет.

Локальное взаимодействие

Кому все это надо? Мы тут страдаем от производных, лезем из кожи вон только ради того, чтобы однажды вывести несколько уравнений, снова переписать законы Ньютона еще одним, более хитрым способом?

Есть множество причин успокоиться на точке зрения Гамильтона, его механике. Она к тому же незаменима при переходе к механике квантовой. А нам она поможет понять, что же такого особенного в пространстве.

Механика Ньютона построена вокруг «пространства положений», то есть множества из всех возможных положений. И мы хорошо понимаем, что в нем особенного. Если, допустим, и можно представить себе «пространство импульсов», то очень абстрактно, совсем не так, как «пространство положений». Ведь мы живем именно в нем.

Но с точки зрения Гамильтона, импульс и положение равноправны, по крайней мере на первый взгляд. Уравнения Гамильтона (4.8) говорят нам, что импульс и положение — две координаты в фазовом пространстве — почти симметричны (если не считать знака «минус»). Гамильтониан зависит как от x, так и от p и может быть совершенно любой функцией H(x, p). Формально в такой системе нельзя отличить пространство положений от пространства импульсов и сказать, что мы в нем живем.

И в этой ситуации мы можем задать вопрос, который даже не пришел бы в голову Ньютону или его ближайшим преемникам. Что есть такого особенного в пространстве? Почему на практике импульс и положение кажутся нам такими разными, если в законах физики Гамильтона они выглядят очень похоже? Почему мы живем в пространстве положений, а не в пространстве импульсов?

Особенность пространства в том, что взаимодействия локальны по положению. Объекты взаимодействуют друг с другом, когда они находятся в одном и том же месте, а не когда у них одинаковый импульс (или что-то еще). Но разве сила притяжения Солнца не действует на планеты через пространство? Нам нужно подумать об этом.

Ученые с удовольствием обсуждают работу отдельно взятых физических систем. Хотя какой от этого толк, если такие системы представить себе нельзя? Нужно говорить о множестве систем, которые взаимодействуют между собой и влияют друг на друга. Особенность нашей Вселенной в том, что системы взаимодействуют, только когда находятся в непосредственной близости. Именно это физики называют «локальным взаимодействием»: если в какой-то точке что-то случилось, последствия проявляются только в соседних точках. А чтобы они проявились где-то на отдалении, нужно время.

Подумайте о бильярдном шаре. После удара кием он катится по прямой (если, конечно, это обычный удар, без подкрутки), пока не дойдет до борта или не столкнется с другим шаром. В этот момент два шара оказываются в одной и той же точке пространства. Во всех остальных случаях импульс значения не имеет: даже если два шара имеют равные (противоположные или любые другие) импульсы, они не будут влиять друг на друга.

Взаимодействие объектов в реальном мире описывает гамильтониан. В теории он может быть любой функцией, зависящей от x и p, на практике же выглядит как выражение (4.1), то есть представляет собой сумму кинетической энергии, пропорциональной p2, и потенциальной энергии, которая зависит только от x (хотя зависимость может быть довольно сложной).

Бильярдный шар взаимодействует с бортом или другим шаром, когда оказывается с ними в одной точке пространства. Два шара с одинаковыми импульсами никак не взаимодействуют друг с другом.

Тот же принцип действует и в системах, которые состоят из нескольких движущихся частей. Допустим, что есть два объекта, первый из которых имеет импульс p1 и занимает положение x1, а второй — импульс p2 и положение x2. Почти все время гамильтониан такой системы будет равен

(4.9)

Первые два слагаемых в этой формуле — кинетические энергии двух объектов. Потенциальная энергия V(x1, x2) каким-то образом зависит от их положения. У бильярдных шаров она будет равна нулю до тех пор, пока они не столкнутся. У двух планет, которые действуют друг на друга силой тяготения, потенциальная энергия равна нулю, пока они далеки, но возрастает по мере сближения. Важно напомнить, что расстояние в пространстве определяет интенсивность взаимодействия.