Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон - Страница 14

Функции такого вида могут быть знакомы тем, кто изучал тригонометрию (или вызывать у них воспоминания). Есть две очень важные тригонометрические функции: синус, график которой начинается с нуля, поднимается до +1, опускается до –1 и возвращается в ноль; и косинус, график которой начинается с +1, опускается до –1 и возвращается на +1.

Проще всего определить тригонометрические функции при помощи единичной окружности, то есть окружности с радиусом 1. Любую точку на ней можно однозначно определить при помощи угла θ относительно оси x. Мы будем измерять углы в радианах, особых единицах, в которых 360 градусам соответствует 2π радиан, где π = 3,14159… Это знаменитая константа, которую можно получить, если разделить длину любой окружности на ее диаметр (поэтому один радиан равен 180/π градусов). Есть много причин использовать радианы. Прежде всего потому, что интегралы и производные косинусов и синусов проще записывать. В радианах cos θ равен проекции точки на окружности на ось x, а sin θ — на ось y.

Как можно заметить, cos(0) = 1, а sin(0) = 0. Далее обе функции совершают колебания с периодом 2π радиан.

На вид график работы простого гармонического осциллятора очень похож на график косинуса. И это действительно так. Если осциллятор начинает работу из неподвижного состояния, действует формула:

x(t) = x0cos(ωt). (3.7)

Греческая буква ω означает угловую частоту осциллятора. При описании любых колебаний частота f показывает, как часто осциллятор возвращается в начальную точку, а угловая частота ω — как часто осциллятор делает полное колебание от 0 до 2π. Эти частоты связаны формулой ω = 2πf. У гармонического осциллятора с потенциалом (3.6) угловая частота составляет

Теперь поговорим о скорости осциллятора. Сначала она равна нулю, поскольку работа начинается в неподвижном состоянии. Затем частица начинает движение влево, и скорость будет отрицательной. В точке поворота скорость снижается до нуля, после чего начинается обратное движение. По описанию это похоже на перевернутый синус (поскольку график sin θ начинается с нуля и идет вверх, а v(t) — начинается с нуля и идет вниз). Следовательно:

v(t) = v0sin(ωt). (3.8)

График скорости осциллятора имеет такую же угловую частоту, как и график положения. Величина ν0 зависит от массы частицы. Если подумать о сохранении энергии, можно связать x0 и V0.

Гармонические осцилляторы повсюду

Возможность получить такие же точные уравнения движения, как в случае с простым гармоническим осциллятором, приносит не только радостные чувства, но и пользу. Вот только в реальных физических системах она предоставляется очень редко. Даже ничем не примечательный осциллятор с потенциалом четвертой степени V(x) = V0 x 4 не имеет точных решений, которые можно записать простыми функциями. Поэтому простой гармонический осциллятор можно ценить уже только за это.

Еще лучше, когда точно разрешаемая система снова и снова появляется в реальном мире. И к счастью, именно так можно сказать о простом гармоническом осцилляторе.

Подумайте о разных физических системах, которые на первый взгляд никак не связаны с шаром на холме. Вот, например, груз, который подвешен на пружине. Если потянуть за него, растянуть пружину и отпустить, под ее силой груз будет двигаться вверх. Аналогичным образом (если, конечно, взять идеальный мир с безупречной пружиной, которая не перегибается и не сминается), сжатая пружина будет толкать груз вниз. Точка равновесия находится в середине, где сбалансированы все силы, и если отпустить груз, он никуда не сместится. Однако даже небольшое перемещение вверх или вниз от этой точки вызовет колебания груза.

Оказывается, вертикальное перемещение груза на пружине, как и движение шара на параболическом холме, можно описать синусоидой (так часто называют график синуса, косинуса и их смещенных вариантов). Стоит немного остановиться на этом. Физически две системы (шар и груз) совсем непохожи. Но их описывают одинаковые уравнения, так что на взгляд абстрактного физика-теоретика это одна и та же система. (Экспериментатор, которому придется создать такую систему, может с этим утверждением не согласиться.)

Есть и еще одна, более глубокая причина популярности гармонического осциллятора среди физиков: огромное количество систем, вплоть до вибрирующих квантовых полей в стандартной модели физики частиц, в некотором приближении можно считать простыми гармоническими осцилляторами. Нетрудно понять почему.

Рассмотрим некоторую физическую систему, которая совершает колебания взад и вперед относительно определенной точки равновесия (или остается неподвижной, если ее работа начнется в этой точке). Трение отсутствует, так что энергия полностью сохраняется. Обозначим за x расстояние между текущим положением системы и точкой равновесия. Потенциальная энергия изменяется по функции V(x), и в этот раз мы будем считать ее совершенно произвольной.

Применим важное математическое свойство: любую непрерывную функцию (то есть такую, в которой нет разрывов — скачков от одного значения к другому) можно выразить как бесконечный ряд, сумму слагаемых, в каждом из которых x стоит в какой-то степени.

V(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + … (3.9)

Главное — правильно подобрать коэффициенты {a, b, c…}. Давайте задумаемся о них. Первый член ряда, a — просто постоянное число. Он не влияет на форму графика, но сдвигает его вверх или вниз. Однако на силу влияет именно форма, уклон, а не конкретное численное значение. Из формулы (3.3) мы знаем, что сила — это производная потенциала, поэтому можно поставить любое a, например написать, что a = 0. Это никак не скажется на работе системы.

Посмотрим на другие члены ряда. Мы приняли x = 0 за точку равновесия, в которой система может находиться без движения. Что будет, если немного сдвинуть ее с этой точки? Значение x будет очень мало (много меньше единицы). Но если умножить такое число на само себя, результат получится еще меньше. Поэтому значения слагаемых в формуле (3.9) будут тем меньше, чем больше степень x. При достаточно малых x влияние будет иметь только самое первое из них, bx. Это, конечно, аппроксимация, но она работает при х, стремящемся к нулю. Какие коэффициенты ни выбрать, всегда найдутся значения x, при которых важным будет лишь первый член ряда.

Но подождите. Если x = 0 — это точка равновесия, потенциал V(0) в ней должен быть минимальным: ведь это подножие холма, где уклон нулевой, а сила не действует. Но при малых значениях x можно сказать, что V(x) ≈ bx, то есть уклон графика V при x = 0 — это просто b. Он будет нулевым только при условии, что b = 0. Поэтому с учетом сделанных предположений мы можем принять b = 0 так же, как ранее приняли a = 0. В противном случае при x = 0 потенциал не окажется минимальным. Таким образом, формула принимает такой вид:

V(x) = cx2 + dx3 + ex4 + … (3.10)

Теперь, исходя из тех же соображений, мы можем сказать, что при достаточно малых значениях x все степени высокого порядка будут пренебрежимо малы. Другими словами, в довольно грубом приближении мы видим, что потенциал колебательной системы вблизи точки равновесия выражается формулой