Структура реальности - Дойч Дэвид - Страница 68

Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательства и определенности, вполне естественны. Настоящее обсуждение имеет своей целью привести нас к ожиданию того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уверенность, с которой математики натыкались на эти ошибки, а также их неспособность признать даже возможность ошибки во всем этом, на Мой взгляд, связана с древней и широко распространенной путаницей между методами математики и ее предметом. Сейчас я поясню это. В отличие от отношений между физическими категориями, отношения между абстрактными категориями независимы от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они абсолютно и объективно определяются автономными свойствами самих абстрактных категорий. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким Образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, Истины, изучаемые математикой, абсолютно определенны. Но это не говорит ни об определенности самого нашего знания этих необходимых истин, ни о том, что методы математики дают своим выводам необходимую им истинность. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными. Необходимая истина — это всего лишь предмет математики, а не награда за то, что мы занимаемся математикой. Математическая определенность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, определенная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на их неопределенность. Можно принимать и без проблем применять, по крайней мере, в течение тысячи лет? В конечном счете, причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с абстрактными. Но, в принципе, надежность нашего знания математики остается второстепенной по отношению к нашему знанию физической реальности. Обоснованность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно правил, управляющих поведением каких-либо физических объектов, будь то генераторы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.

Таким образом, математическая интуиция — это вид физической интуиции. Физическая интуиция — набор эмпирических правил (некоторые из которых возможно врожденные, а большая часть — развившиеся в детстве), о том, как ведет себя физический мир. Например, у нас есть интуиция существования физических объектов и того, что эти объекты обладают определенными свойствами: формой, цветом, весом и положением в пространстве, некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другая интуиция заключается в том, что существует физическая переменная — время — по отношению к которой изменяются свойства, но, тем не менее, объекты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Еще одна интуиция заключается в том, что объекты взаимодействуют и что это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математическая интуиция описывает способ демонстрации свойств абстрактных категорий физическим миром. Одним из таких направлений интуиции является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежащее в основе поведения объектов. Интуицию, предполагающую, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие «внутреннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав ее в математическую интуицию множества, разделяющего все на члены и нечлены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математиками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) показало, что эта интуиция перестает быть точной, когда рассматриваемое множество содержит «слишком много» членов (слишком большую степень бесконечности членов).

Даже если бы хоть какая-то физическая или математическая интуиция была врожденной, это не предоставило бы ей какого-то особого авторитета. Врожденную интуицию невозможно воспринимать как суррогат «воспоминаний» Платона о мире Форм. Ибо ложность многих направлений интуиции, которые случайно развились у людей в процессе эволюции, — банальное наблюдение. Например, человеческий глаз и математическое обеспечение, которое им управляет, воплощают ложную теорию о том, что желтый свет состоит из смеси красного и зеленого света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое же ощущение как смесь красного и зеленого света). В реальности все три типа света имеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешивания света других частот. Тот факт, что смесь красного и зеленого света кажется нам желтым светом, не имеет ничего общего со свойствами света, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшего место на каком-то этапе отдаленной эволюции наших далеких предков. Существует только возможность (хотя я в нее не верю), что геометрия Евклида или логика Аристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считал философ Иммануил Кант. Но это логически не означало бы их истинности. Даже если представить еще более невероятный случай, что у нас есть врожденная интуиция, от которой мы не в состоянии избавиться, такая интуиция, тем не менее, не стала бы необходимой истиной.

Значит, реальность действительно имеет более объединенную структуру, чем это было бы возможно, если бы математическое знание можно было проверить с определенностью. А следовательно, ее структура — это иерархия, как и считалось традиционно. Математические категории являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на область абстракций, о которой размышляли Платон и Пенроуз: несмотря на то, что по определению они неосязаемы, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести знание об этой области. И она накладывает строгие ограничения. Тогда как в физической реальности постижимо все, постижимые математические истины в точности составляют бесконечно малое меньшинство, которое оказывается в точности соответствующим какой-то физической истине — как тот факт, что если определенными символами, написанными чернилами на бумаге, манипулировать определенным образом, появятся другие определенные символы. То есть, это и есть те истины, которые можно передать в виртуальной реальности. У нас нет другого выбора, кроме как принять, что непостижимые математические категории тоже реальны, т.к. они сложным образом возникают в наших объяснениях постижимых категорий.

Существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определенных абстрактных объектов. Таким образом, структура физической реальности дает нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный диапазон перспектив. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся такими же важными или «фундаментальными» для абстрактного мира, какими глубокие законы природы являются для физического мира. Но эта видимость может ввести в заблуждение. Поскольку действительно мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отношению к нашему пониманию абстракций, у нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные категории ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна.

Математика — изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство — способ установления истинности математических высказываний.

(Традиционное определение): последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым выводом и удовлетворяет определенным «правилам вывода».