Вечность. В поисках окончательной теории времени - Кэрролл Шон - Страница 92

Рассмотрим такую загадку: сколько энтропии может уместиться в контейнере? Больцману и его современникам этот вопрос показался бы глупым — ведь в коробку можно вместить столько энтропии, сколько душа пожелает. Если у нас есть контейнер, полный молекул газа, то состояние с максимальной энтропией (равновесная конфигурация) будет существовать для любого фиксированного числа молекул — газ будет равномерно распределен по контейнеру при постоянной температуре. При желании мы могли бы впихнуть в этот контейнер еще больше энтропии; все, что нам для этого потребовалось бы, — это добавить больше молекул. Если нас вдруг начнет волновать вопрос о том, что молекулы занимают определенный объем пространства и существует некое максимальное число молекул, которые могут поместиться в контейнер, то и эту проблему мы сможем без труда решить, взяв контейнер, полный фотонов (частиц света), а не молекул газа. Фотоны можно нагромождать друг на друга бесконечно, и мы сможем уместить в контейнере столько фотонов, сколько нам потребуется. С этой точки зрения ответ вроде бы таков, что в любой конкретный контейнер можно уместить бесконечный (или, по крайней мере, произвольно большой) объем энтропии.

В этой истории, однако, отсутствует критически важный ингредиент: гравитация. Мы вталкиваем в контейнер все больше вещества, и масса содержимого контейнера возрастает.[231] В конце концов материю, которую мы засовываем в контейнер, ожидает та же судьба, что и массивную звезду, израсходовавшую свое ядерное топливо: она сколлапсирует под воздействием собственного гравитационного притяжения и превратится в черную дыру. Каждый раз, когда это происходит, энтропия увеличивается — энтропия черной дыры больше, чем энтропия материи, из которой она была сделана (в противном случае второй закон термодинамики не позволил бы черным дырам образовываться).

В отличие от контейнеров с атомами создавать черные дыры одинакового размера, но с разными массами невозможно. Размер черной дыры характеризуется радиусом Шварцшильда, в точности пропорциональным ее массе.[232] Если вам известна масса, то вы знаете размер; и наоборот, если у вас имеется контейнер фиксированного размера, то вы не сможете запихнуть в него черную дыру тяжелее определенной массы. Но если энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий, это означает, что существует максимальный объем энтропии, который может уместиться в области какого-то фиксированного размера, что обеспечивается черной дырой этого размера.

Это весьма примечательный факт. Он отражает разительное отличие, появляющееся в поведении энтропии, как только влияние гравитации становится существенным. В гипотетическом мире, в котором такой штуки, как гравитация, не существует, мы могли бы втиснуть сколько угодно энтропии в любую заданную область, но в реальном мире гравитация не позволяет нам это сделать.

Значимость этого результата становится очевидной, когда мы обращаемся к больцмановскому пониманию энтропии как (логарифма) числа микросостояний, неразличимых с макроскопической точки зрения. Если существует какой-то конечный максимальный объем энтропии, который может уместиться в области фиксированного размера, значит, данная область допускает лишь конечное число возможных состояний. Это фундаментальное свойство квантовой гравитации, кардинально отличное от свойств теорий, не включающих гравитацию. Посмотрим, куда эта цепочка рассуждений нас приведет.

Голографический принцип

Для того чтобы оценить, насколько серьезный урок преподает нам энтропия черных дыр, необходимо сначала прочувствовать глубину почитаемого многими принципа, который черные дыры со своей энтропией, очевидно, опровергают, — локальности. Его основная идея заключается в том, что разные места во Вселенной функционируют более или менее независимо друг от друга. На объект, находящийся в каком-то конкретном месте, может воздействовать его ближайшее окружение, но не то, что находится очень и очень далеко. Предметы, разнесенные на большое расстояние, могут влиять друг на друга косвенным образом, отправляя из одного место в другое какие-то сигналы, например возмущение гравитационного поля или электромагнитную волну (свет). Однако то, что происходит здесь, не оказывает непосредственного влияния на то, что происходит в какой-то другой области Вселенной.

Вспомним снова шахматные доски. На событие, происходившее в определенный момент времени, влияло событие, происшедшее моментом ранее. Но то, что происходило в определенной точке «пространства» (совокупности клеток в пределах одной строки), никак не было связано с происходящим в любой другой точке пространства в тот же момент времени. В любой конкретной строке у нас могло быть абсолютно любое распределение белых и серых квадратиков. Никаких правил типа «если здесь находится серая клетка, то через двадцать мест направо должна находиться белая» не существовало. Да, по ходу времени клетки «взаимодействовали» друг с другом, но взаимодействие всегда ограничивалось соседними клетками. Схожим образом, в реальном мире объекты сталкиваются друг с другом и воздействуют на другие объекты, находящиеся поблизости, но не где-то далеко. Это локальность.

Локальность приводит к важному следствию для энтропии. Возьмем, как обычно, контейнер с газом и подсчитаем энтропию газа в контейнере. Теперь мысленно поделим контейнер на две части и вычислим энтропию в каждой половине. (Не нужно воображать физический барьер, просто рассматривайте левую и правую половины контейнера по отдельности.) Как связаны между собой полная энтропия контейнера и энтропии двух половин, взятые отдельно?

Рис. 12.6. Контейнер с газом, мысленно поделенный на две половины. Полная энтропия содержимого контейнера равна сумме энтропий двух половин содержимого.

Ответ таков: энтропию целого контейнера можно получить, просто сложив энтропию одной его половины с энтропией другой его половины. Казалось бы, это непосредственно следует из определения энтропии по Больцману — собственно, поэтому в данном определении и присутствует логарифм. У нас есть определенное количество допустимых микросостояний в одной половине контейнера и определенное количество допустимых микросостояний в другой. Общее количество микросостояний рассчитывается так: для каждого возможного микросостояния левой половины мы можем выбрать любое из возможных состояний правой половины. Таким образом, мы получаем общее количество микросостояний путем умножения числа микросостояний слева на число микросостояний справа. Но энтропия — это логарифм полученного значения, а логарифм «X умноженного на Y» равен «логарифм X» плюс «логарифм Y».

Итак, энтропия всего контейнера равна простой сумме энтропий двух половин. И это правило будет работать независимо от того, каким образом мы разделим исходный контейнер и на сколько частей; полная энтропия системы всегда равна сумме энтропий подсистем. Это означает, что максимальная возможная для выбранного контейнера энтропия всегда будет пропорциональна его объему: чем больше у нас пространства, тем большее значение может принимать энтропия, так что она естественным образом масштабируется с увеличением объема.

Однако обратите внимание на коварное предположение, присутствующее в этом рассуждении: мы подсчитали количество состояний в одной половине контейнера, а затем умножили его на количество состояний в другой половине. Другими словами, предполагалось, что то, что происходило в одной половине контейнера, никак не зависело от происходящего в другой его половине. А это как раз предположение о локальности.

Когда на сцену выходит гравитация, все эти доводы рушатся. Гравитация устанавливает верхний предел на энтропию, которую мы можем впихнуть в контейнер, равный энтропии самой большой черной дыры, способной поместиться в данную тару. Однако энтропия черной дыры не пропорциональна заключенному в ней объему — она пропорциональна площади горизонта событий. А площадь может очень сильно отличаться от объема! Если у нас есть сфера диаметром один метр и мы увеличим ее в размере так, чтобы ее диаметр возрос до двух метров, то внутренний объем сферы возрастет в восемь раз (23), тогда как площадь ее поверхности возрастет лишь в четыре раза (22).