История греческой философии в её связи с наукой - Гайденко Пиама Павловна - Страница 8

Новое понимание числа могло возникнуть только тогда, когда существенным стало различение чисел четных и нечетных, первых (простых) и вторых (сложных) и когда стремление проанализировать отношения между числами, формы их связи между собой привело к установлению отношений прежде всего двух последовательных чисел натурального ряда, n и n + 1. В этом смысле первая десятка, по убеждению пифагорейцев, уже содержит в себе все возможные типы числовых отношений38 (а пифагорейцы признавали 10 видов этих отношений).

Пояснением к этому может служить отрывок из Спевсиппа, взятый из "Теологумен", переведенный и прокомментированный П. Таннери: "...10 заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности, возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные, плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 - линия, 3 - треугольник, 4 - пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и общая сумма ее членов - число 10... В плоских и телесных фигурах первые элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе 10 и в нем же находящие свое завершение. Так, например, у пирамиды (имеется в виду "первая" пирамида - тетраэдр. - П.Г.) 4 угла или 4 грани и 6 ребер, что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны и углы этого треугольника - 6, т.е. опять-таки 10"39. Говоря о том, что точка, линия, треугольник и пирамида составляют число 10, Спевсипп имеет в виду числовое выражение точки, линии, треугольника и пирамиды, т.е. 1 + 2 + 3 + 4 = 10, что, будучи изображено графически, дает совершенный треугольник - знаменитую пифагорейскую тетрактиду, или четверицу (рис. 5).

Рис. 5

Декада, таким образом, есть также равносторонний треугольник, а это, согласно пифагорейцам, совершенная фигура.

Делая, таким образом, первые - и решающие - шаги в создании математики как теоретической системы, ранние пифагорейцы в то же время рассматривали открываемые ими отношения чисел как символы некоторой божественной реальности. Согласно свидетельству Прокла (из комментариев к "Началам" Евклида), "у пифагорейцев мы найдем, что одни углы посвящены одним богам, другие - другим. Так, например, поступил Филолай, посвятивший одним богам угол треугольника, другим - (угол) четырехугольника и иные (углы) иным (богам), и приписавший один и тот же (угол) нескольким богам, и одному и тому же богу несколько углов соответственно различным силам, (находящимся) в нем"40.

Такого рода отождествление различных богов с определенными числовыми отношениями и их геометрическими изображениями носит характер, близкий к мифологическим отождествлениям (море - Посейдон, дерево - дриада, волны Океаниды и т.д.). Так, у Прокла далее читаем: "Справедливо Филолай посвятил угол треугольника четырем богам: Кроносу, Аиду, Аресу и Дионису... Ибо Кронос владеет всей влажной и холодной субстанцией, Арес же - сей огненной природой, и Аид содержит (в своей власти) всю земную жизнь, Дионис же правит влажным и теплым рождением, коего символ - вино, тоже влажное и теплое. Все они различны по своим делам, касающимся (вещей) второго порядка, (сами же) между собой соединяются. Поэтому-то Филолай изображает их соединение, приписывая всем им вместе один угол" (МД. Ч. III. 32А, 14).

Здесь нетрудно увидеть единство, в каком для сознания пифагорейцев выступали соотношения чисел и связь божественных сил и природных стихий.

Итак, декада содержит в себе все виды числовых отношений, а эти отношения лежат в основе как природных процессов, так и жизни человеческой души. Числовые отношения составляют самую сущность природы, и именно в этом смысле пифагорейцы говорят, что "все есть число". Поэтому познание природы возможно только через познание числа и числовых отношений41. Платон ограничил значение числа, полагая, что последнее не само выражает сущность всего существующего, а есть лишь путь к постижению этой сущности. Число, как мы дальше увидим, Платон помещает как бы посредине между чувственным миром и миром истинно сущего. Аристотель подверг критике пифагорейский тезис "все есть число" с другой позиции, чем Платон. Если для пифагорейцев математика лежит в фундаменте всякого знания о природе, то Аристотель в корне переосмысливает соотношение математики и физики, создавая направление научного исследования ("научную программу"), в корне отличное от пифагорейского.

В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев предстает также как священная четверица42, которая, по преданию, была клятвой пифагорейцев.

Итак, анализ пифагорейского учения о декаде показывает, что понимание ими числа включает в себя два момента. Во-первых, сходную с древневосточной и древнегреческой традициями сакрализацию числа и соответствующую ей тенденцию вскрывать десятиричную основу во всем существующем43. Во-вторых, существенно новый подход к анализу священного числа с целью раскрыть в нем возможные числовые отношения. При этом внимание направляется на внутренние связи между числами, что приводит к установлению ими важнейших математических положений.

То обстоятельство, что оба эти момента - отношение к числу как чему-то священному и анализ реальных форм связей между числами - соединяются, оказывается важным для генезиса математики как систематической теории. В самом деле, во-первых, искомые и находимые связи между числами, числовые пропорции выступают как основа и фундамент всех природных явлений и процессов; во-вторых, поиски связей и единства всех возможных закономерностей числа становятся для них центральной задачей исследования.

Пропорци· и гармония

Уже из анализа пифагорейского учения о сущности декады можно видеть, что в центре внимания пифагорейцев стоит вопрос об отношениях чисел, т.е. о пропорциональных отношениях.

Числовые пропорции, или соразмерности, пифагорейцы называли также гармониями. Еще Пифагор, как утверждают многие свидетельства, открыл связь числовых соотношений с музыкальной гармонией. Он обнаружил, что при определенных соотношениях длин струн последние издают приятный (гармонический) звук, а при других - неприятный (диссонанс). Приписываемое Пифагору открытие возвращает нас к уже рассмотренной декаде и священной четверице. "Пифагор открыл, - пишет А.О. Маковельский, - что если заставить последовательно звучать целую струну, половину ее, две трети и три четверти, то получим основной тон, октаву его, квинту и, наконец, кварту. Таким образом, отношения, даваемые длиной струны, будут для октавы 1:2, для квинты 2:3 и для кварты 3:4. Эти числа представляют прогрессию, в которой 4 термина и 3 интервала. Сумма терминов равна 10, а три последовательных интервала, 2, 3/2, 4/2, 4/3, согласно чудесному открытию Пифагора, суть интервалы октавы, квинты и кварты"44.

Мы не будем специально рассматривать вопрос, является ли установление гармонических интервалов заслугой Пифагора или позднейших пифагорейцев45. Нам лишь важно подчеркнуть, что это открытие сыграло большую роль для дальнейшего развития науки о числе, поскольку утверждение "все есть число" получило свой смысл благодаря тому, что числовые отношения обнаруживались в самых разных процессах46. Гармония стала у пифагорейцев математическим понятием, и, что важно, пифагорейская математика и философия оказались проникнуты понятием гармонии. Это во многом объясняет специфические особенности античного мышления. Не случайно Аристотель, говоря о пифагорейцах, не отделяет их учение о гармонии от учения о числе. "...Они (пифагорейцы. - П.Г.) видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Так как, следовательно, все остальное явным образом уподоблялось числам по всему своему существу, а числа занимали первое место во всей природе, элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю вселенную признали гармонией и числом"47.