Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 26

КЛАССЫ И МНОЖЕСТВА

Теория множеств Цермело — Френкеля также исходит из логики первого порядка и принимает отношение принадлежности ϵ в качестве первоначального. Аксиомы ZF, озвученные вербально, следующие.

1. Два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные элементы (аксиома объемности).

2. Существует множество без единого элемента Ǿ.

3. При заданном множестве х и свойстве, которое можно сформулировать на языке первого порядка теории множеств, существует множество всех элементов X, которые удовлетворяют свойству (аксиома выделения).

4. Если x и у — множества, то неупорядоченная пара {х, у} — множество.

5. Объединение множеств во множество — множество.

6. Можно образовать потенциальное множество любого множества, то есть собрание всех подмножеств или частей любого множества — другое множество.

7. Существует как минимум одно бесконечное множество (аксиома бесконечности).

8. Образ множества, заданный функцией, является множеством (аксиома преобразования).

9. x не принадлежит x (аксиома основания, или регулярности).

Если к этим аксиомам добавить так называемую аксиому выбора, получится система ZFC (С — от английского choice — «выбор»). В 1930-е годы теория множеств ZFC была расширена теорией классов и множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (известной среди математиков по аббревиатуре NBG). Фон Нейман предложил иерархическую и накопительную конструкцию вселенной множеств, которую обычно схематично представляют в виде перевернутого конуса (см. рисунок). На основе пустого множества, путем повторения (с помощью трансфинитной рекурсии) операций «части множества- и «объединение множества- он построил все этажи, на которых упорядоченно располагаются множества — от самых маленьких до самых больших: 0 = Ǿ, 1 = {0} = {Ǿ}, 2 = {0, 1} = {Ǿ, {Ǿ}} и так далее. В этой теории парадоксы Рассела и Кантора доказывают, что R и V — не множества, а классы, которые принимаются в рамках этой теории. Кофинальные элементы, обладающие иерархией, не являются членами никакого другого множества, потому что они слишком большие и соответствуют классам.

Иерархическая конструкция вселенной множеств, разработанная фон Нейманом.

С тех пор она известна как аксиоматика ZF (по их инициалам) теории множеств. Итак, в ZF парадокс класса Рассела превращается в доказательство того, что этот класс не является множеством, другими словами, что его не существует в рамках этой теории, в связи с чем антиномия испаряется в воздухе. Если мы предположим, что R — это множество, и столкнемся с абсурдом, это будет означать, что R — не множество.

Аналогично, парадокс Кантора превращается в доказательство того, что «множество» всех множеств V — это не множество, поэтому его также не существует внутри теории. В ZF такая загадка, как парадокс брадобрея, демонстрирует отсутствие существования индивидуума с этими характеристиками. Более того, аксиомы ZF блокируют цикличность, которая с помощью различных стратегий делает очевидной несостоятельность парадоксов. Формулы типа R ϵ R запрещены в ZF, поскольку в аксиоме основания, или регулярности, установлено, что ни одно множество не принадлежит самому себе, то есть (перевернутое A)x(x /ϵх).

При этой аксиоме опасных множеств просто не существует.

Следует заметить, что при наличии ZF не только были устранены парадоксы неформальной теории множеств, но и стало возможным омножествление математики: с определением функции как множества упорядоченных пар, предложенным Феликсом Хаусдорфом (1868-1942) и Казимиром Куратовским (1896-1980) чуть позже, это понятие (столп анализа) оказалось омножествленным, что упрочило обоснование математики с помощью множеств. Все головокружительное разнообразие математических структур оказалось сведено к их самым базовым компонентам — множествам.

Однако работы Цермело вызвали большой ажиотаж и крайне враждебную реакцию специалистов. Пытаясь доказать континуум-гипотезу, в 1904 году Цермело сформулировал аксиому выбора. Эта аксиома гласит, что можно одновременно выбрать элемент каждого множества из бесконечного собрания непустых множеств. Формально если S = {А, B, С,...} — это собрание непустых множеств, то существует множество Z, которое состоит ровно из одного элемента множества А, одного из B, одного из С и так далее. Бертран Рассел объяснял это на следующем примере. Представим себе миллионера, который, каждый раз покупая пару туфель, покупает и пару носков. Предположим, он уже обладает бесконечным набором коробок с туфлями и таким же количеством упаковок с носками. Если бы он хотел удостовериться, что у него действительно равное количество пар туфель и носков, он мог бы доставать по одному правые туфли и находить им пару из одного носка (или если бы коробки с туфлями и неоткрытые упаковки носков закончились одновременно, он бы знал, что их у него одинаковое количество). Но он не может совершить последнее действие, не применив аксиому выбора, поскольку эта аксиома позволяет осуществлять бесконечное число произвольных выборов в коллекции наборов носков (в то время как из каждой коробки туфель он всегда может выбрать правый, между носками нет никакой разницы, поскольку не существует правого носка, отличного от левого).

Несмотря на кажущуюся невинность, аксиома выбора имеет удивительные следствия, противоречащие интуиции. Одно из них, по примеру Цермело, — это принцип вполне упорядочивания, который гласит, что любое множество, каким бы странным оно ни казалось, может быть вполне упорядоченным, то есть упорядоченным линейно, как натуральные числа, где любое подмножество всегда обладает первым элементом. Более того, аксиома выбора вскоре оказалась необходимой для доказательства того, что арифметика кардинальных чисел работает корректно (что два любых кардинальных числа всегда сравнимы), а также для доказательства через лемму Цорна многочисленных базовых результатов алгебры и анализа. Это спровоцировало международную дискуссию между сторонниками и противниками аксиомы выбора (это даже нашло отражение в специальном номере журнала Mathematische Annalen, издаваемого Клейном и Гильбертом). С одной стороны, этот мощный инструмент защищали Цермело, Рассел и Гильберт. С другой — против его необоснованного использования боролся молодой нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1871-1956), который рассчитывал на поддержку важных французских математиков: Рене-Луи Бэра (1874-1932), Эмиля Бореля (1871-1956) и Анри Лебега (1875-1941). Если на островах главенствовали логицисты, то на континенте буйствовали формалисты — под предводительством Гильберта — и интуиционисты, во главе которых стоял Брауэр.

БРАУЭР ПРОТИВ ГИЛЬБЕРТА

Брауэр заявлял, что «пируэты Цермело» способствуют прочному обоснованию математики раз и навсегда. Его беспокоило то, что последние 25 лет абстрактная математика возводила воздушные замки. Ему нельзя отказать в проницательности в том, что касается рисков аксиомы выбора. Благодаря ей были извлечены на свет многочисленные математические монстры. И в их числе, несколькими годами позже (в 1926 году), парадокс Банаха — Тарского. Теорема, стоящая за ним, обязательно использует эту сомнительную аксиому и производит следующее парадоксальное распределение множеств в трехмерном пространстве: шар можно разложить на конечное число отдельных частей, так что на их основе можно вновь построить два шара, идентичных исходному. Это такой математический аналог библейского чуда хлебов и рыб (единственное, что сочетается со здравым смыслом, — то, что оба шара, идентичных исходному, не измеряются в понимании Лебега, поэтому данный парадокс никогда не появляется при вычислении объемов).