Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 19

Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.

Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l2 и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L2). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств lр и Lp при р > 1 (например, если р = 3, пространство последовательностей/функций суммируемого/интегрируемого куба, и так далее).

Групповой портрет. Слева направо: Альфред Хаар, сын Гильберта Франц, его неразлучный друг Герман Минковский, неизвестная женщина, Кёте Г ильберт, Давид Гильберт и Эрнст Хеллингер.

Эйнштейн в гостях у Лоренца в Лондоне в 1921 году. Для установления теории относительности немецкий физик воспользовался работой Лоренца и Пуанкаре, а также математической помощью Г ильберта.

Джон фон Нейман, ученик Гильберта, который дал имя своего учителя гильбертову пространству.

Официально функциональный анализ был введен в 1922 году, когда вышла из печати книга «Лекции по функциональному анализу» Поля Леви (1886-1971). В том же году была опубликована докторская диссертация поляка Стефана Банаха (1892-1945), в которой тот стремился доказать ряд теорем, справедливых для различных функциональных пространств, не останавливаясь на конкретной природе этих пространств (на конкретных функциях, которые входят в их состав).

Любопытно, что многие открытия Банаха в области функционального анализа были сделаны в шуме «Шотландского кафе» во Львове (в то время считавшемся территорией Польши), где он нацарапывал заметки на мраморной крышке стола или на салфетке. Результатом этих заметок Банаха и других известных математиков, его компаньонов, стала «Шотландская книга» — один из самых важных математических документов XX века.

КВАНТЫ, МАТРИЦЫ И ВОЛНЫ

После тысячи и одной неудачной попытки объяснить излучения черного тела (то есть тела, находящегося в закрытой полости) немецкому физику Максу Планку (1858-1947) наконец это удалось. Он заявил, что излучение и поглощение энергии всегда происходит пучками, в прерывистом, или «квантизованном», виде. Энергия, как и деньги, не принимает значения внутри непрерывного диапазона, а только в дискретных единицах. «Дискретизация», объявленная Планком, была настоящим актом отчаяния. Рождение квантовой теории относится к 14 декабря 1900 года, когда его закон об излучении черного тела был представлен публично.

Но в числе действующих лиц старой квантовой теории, кроме Планка, присутствуют Альберт Эйнштейн и Нильс Бор (1885-1962). В 1905 году, ставшем чудесным годом, Эйнштейн применил квантовую гипотезу к изучению света: световые волны состоят из мельчайших частиц (которые позже получили название фотонов), как это видно из фотоэлектрического эффекта. До середины XIX века корпускулярное видение материи, наследство Ньютона, доминировало над волновым видением. До 1900 года существовала гибридная концепция: твердые тела и флюиды (жидкости и газы) считались состоящими из частиц, а электромагнитное излучение понималось как волны. Теперь же выяснилось, что физикам нужно отказаться от классической концепции материи (волна или частица) ради новой концепции: волна и частица (как в случае со светом).

В 1913 году Бор, стипендиат (благодаря поддержке фонда пивоваренной компании) лаборатории Эрнеста Резерфорда (1871-1937), квантизовал атом с целью объяснить атомные спектры. Прерывистые линии спектров были следствием квантизации энергии электронов внутри атома. К несчастью, модель атома Бора потерпела крах при применении ее к многоэлектронным атомам, и ученые постепенно приходили к выводу, что необходимо радикальное изменение в основаниях физики: появление нового вида механики (Макс Борн (1882-1970) назвал ее квантовой), который содержал бы связную аксиоматику, независимую от классических теорий, и преодолел бы мешанину из принципов, законов и вычислительных инструкций, составлявших старую квантовую теорию.

У Зоммерфельда я научился оптимизму, у гёттингенцев — математике, а у Бора — физике.

Вернер Гейзенберг

В 1925 году молодой физик Вернер Гейзенберг (1901-1976), приват-доцент в университете Геттингена, вывел основы квантовой механики, выздоравливая после приступа сенной лихорадки на острове Гельголанд. Гейзенберг настаивал, что множество всех частот и амплитуд излучения, испускаемого атомом, может считаться полным описанием системы атома, даже если невозможно истолковать его в смысле электронной траектории, которая вызывает излучение, поскольку орбиты электронов внутри атома ненаблюдаемы.

ОДНА ПРОБЛЕМА, ДВА РЕШЕНИЯ

Посмотрим, как квантовые механики решали проблему нахождения различных энергетических уровней электрона атома водорода. В матричной механике нужно было «диагонализовать» матрицу Гамильтона Н, измеряющую общую энергию системы, то есть определить матрицу S так, чтобы матрица W = S-1HS была диагональной; так диагональные элементы Еn — это энергетические значения электрона:

В свою очередь, в волновой механике требовалось решить волновое уравнение Шрёдингера, то есть следующее уравнение в частных производных:

-Δψ + Vψ = Εψ,

где ψ — волновая функция (независимая от времени), V — потенциал, а Е — энергия. Если определить оператор Гамильтона как Η = -Δ + V (то есть кинетическая энергия плюс потенциальная энергия), предыдущее уравнение можно переписать, чтобы оно приняло вид Ηψ = Εψ и представляло собой то, что известно как проблема собственных значений, или проблема Штурма — Лиувилля, поскольку ею занимались французские математики Жак Шарль Франсуа Штурм (1803-1855) и Жозеф Лиувилль (1809-1882). Она называется так, поскольку это последнее уравнение допускает решение для некоторых значений ψ и Е, которые получают название собственных функций и собственных значений, соответственно.

Собственные значения

В классической физике собственные значения определяли, например, характерные частоты колебания упругой мембраны, так что любое колебание могло выражаться как наложение этих базовых видов колебания. В квантовой физике собственные значения Еп — это как раз возможные уровни энергии электрона атома водорода. Разницы между этими собственными значениями дают частоты испускаемых квантов света (фотонов), описывая таким образом структуру спектра излучения атома. В свою очередь, различные состояния электрона заданы собственными функциями ψn, соотносящимися с собственными значениями. В математике множество собственных значений Еn матрицы или оператора называется спектром. В результате чудесного совпадения математический спектр (название для которого Гильберт выбрал случайно) в итоге стал ключевым для объяснения физических спектров атомов. Ученый говорил: «Я разработал теорию о бесконечных переменных и даже назвал ее спектральным анализом, совсем не предполагая, что позже она найдет применение для настоящего физического спектра». Это была счастливая случайность.