Математический аппарат инженера - Сигорский Виталий Петрович - Страница 27

Номера столбцов определяются расположенными над ними n-разрядными числами с основанием k, каждое из которых читается сверху вниз. Номера функций отождествляются с kn-разрядными числами, которые соответствуют строкам матрицы в той же системе счисления.

4. Двузначные однородные функции. Наиболее простым и в то же время важнейшим классом однородных функций являются двузначные (булевы) функции, частично рассмотренные в (1.5. 2) и последующих пунктах.

- 506 -

Областью определения булевых функций от n переменных служит множество слов длины n. Они представляют собой всевозможные наборы из n двоичных цифр и их общее количество равно 2n.

Число всевозможных булевых функций n переменных v = 2nбыстро возрастает с увеличением n (при n = 3 оно равно 256, а при n = 5 превышает 4 миллиарда). Но функции одной и двух переменных еще можно перечислить и подробно исследовать, так как их количество сравнительно невелико (v = 4 при п = 1 и v = 16 при n = 2).

Булевы функции одной переменной. Общая таблица соответствия для булевых функций одной переменной имеет вид (справа указаны обозначения функций):

x

|

0

1

|

y

---

|

---

---

|

---

y0

|

0

0

|

0

y1

|

0

1

|

x

y2

|

1

0

|

x̅

y3

|

1

1

|

1

Две функции у0 = 0 и у3 = 1 представляют собой функции-константы (тождественный нуль и тождественная единица), таккакони не изменяют своих значений при изменении аргумента. Функция y1 = х повторяет значения переменной х и потому просто совпадает с ней.

Единственной нетривиальной функцией является у2 = x̅ , называемая отрицанием или инверсией ( x̅ читается «не х»). Она равна 1, когда аргумент принимает значение 0, и равна 0 при аргументе 1.

- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -

- Продолжение следует... -

- Содержание продолжения -

...

2. Алгебра логики

3. Контактные схемы

4. Логические схемы

5. Минимизация булевых функций

6. Конечные автоматы

1. Основные определения. В контактных и логических схемах значения выходных переменных определяются только комбинацией значений переменных на входах в данный момент времени. Поэтому их называют комбинационными схемами. В более общем случае выходные переменные могут зависеть от значении входных переменных не только в данный момент, но и от их предыдущих значений. Иначе говоря, значения выходных переменных определяются последовательностью значений входных переменных, в связи, с чем схемы с такими свойствами называют последовательностными. Если входные и выходные переменные принимают значения из конечных алфавитов, то оба типа схем объединяются под названием конечные автоматы.

Пусть Xi - алфавит входной переменной хi, а Yi – алфавит выходной переменной yi. Конечный автомат с n входами и m выходами характеризуется входным алфавитом Х = Х1 × Х2 × ... Хn и выходным алфавитом Y = Y1 × Y2 × ... Ym, причем символами входного алфавита служат слова x = (x1, x2, …, xn) длины n, а символами выходного алфавита - слова y = (y1, y2, …, ym) длины m, где xi ∈ Xi и yi ∈ Yi. Особого внимания заслуживают конечные автоматы с двузначным структурным алфавитом, зависимости между входными и выходными переменными которых выражаются булевыми санкциями. Их значение обусловлено тем, что любая информация может быть представлена в двоичных кодах (двоично-десятичные коды чисел, телетайпный код в технике

- 564 -

связи и т.п.). В то же время при технической реализации автоматов используются преимущественно двоичные элементы и двузначная логика.

В реальных условиях сигналы представляются непрерывными функциями времени, поэтому для надежного различения сигналов требуется, чтобы новые значения на входах появлялись после окончания переходных процессов, связанных с предыдущими значениями. При рассмотрении логической структуры автоматов обычно отвлекаются от существа этих процессов и считают, что переменные изменяются не непрерывно, а мгновенно в некоторые моменты времени, называемые тактами. Интервалы между тактами могут быть различными, но без потери общности их можно считать равными Δt . Предполагается, что тактовые моменты tν + 1 =tν + Δt определяются синхронизирующими сигналами. Таким образом, вводится понятие дискретного автоматного времени tn(n = 1, 2, ...), причем переменные зависят не от физического времени, а от номера такта ν, т. е. вместо непрерывных функций x(t) рассматриваются дискретные значения х(ν).

2. Состояния. Кроме входных и выходных переменных, можно выделить некоторую совокупность промежуточных переменных, которые связаны с внутренней структурой автомата. В комбинационных схемах промежуточные переменные непосредственно не участвуют в соотношениях вход - выход. Напротив, выходные функции последовательностных схем в качестве своих аргументов, кроме входных переменных, обязательно содержат некоторую совокупность промежуточных переменных s1, s2, …, sk, характеризующих состояние схемы. Набор всех возможных состоянии, которые присущи данной схеме, называется множеством состояний. Если S1, S2, …, Sk - конечные алфавиты переменных состояния s1, s2, …, sk, то множество состояний S = S1 × S2 × … × Sk также является конечным множеством.