Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 23
Это предложение равнозначно определению 4 книги V: если верно одно, то верно и другое, и наоборот. Архимед обратил на это внимание и решил ввести предложение в ранг постулата, который сегодня известен как принцип (или аксиома, или свойство) Архимеда.
Принцип Архимеда. Если имеются две величины одного порядка А и Bf то всегда существует натуральное число пу при котором п х А > В или п х В > А.
Доказав предложение 7 книги XII, Евклид решил задачу расчета объема пирамиды, унаследованную от египетских математиков. Вопрос о возможности ее решения с помощью метода танграма стоял на третьем месте в составленном Давидом Гильбертом в начале прошлого века списке из 23 задач, представляющих особый интерес для математики. Ответ, разумеется, был отрицательным. А предложение 2 дает ответ на один из важнейших вопросов классической геометрии, которому и посвящена следующая глава.
ГЛАВА 6
Квадратура круга
Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.
Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:
— теорема Пифагора;
— доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.
Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.
Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEBy и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S1 и S2:
площадь AGBCA = площади АСВ — S + (S1 + S2).
Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S1 + S2. Из теоремы Пифагора мы знаем, что
АВ² = АС² + СВ². (*)
РИС. 1
Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение
S/АВ2 = S1/AC² = S2/CB²
Следовательно,
S/AB² = (S1 + S2)/(АС² + СВ²)
(исходя из предложения 12 книги V). Согласно (*) получается, что S = S1 +S2. Действительно, очень изящное доказательство! Так была открыта дорога к решению задачи о квадратуре круга.
БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД
Древнегреческие софисты Антифонт (480-411 до н. э.) и Брисон (ок. V века до н. э.) также занимались вопросом квадратуры круга и пришли к простому и бесспорному на первый взгляд выводу. Они предлагали описать круг методом приближения вписанных в него (Брисон добавлял — и описанных) многоугольников, построенных путем разделения пополам каждой стороны круга, то есть переходя от квадрата к восьмиугольнику, 16-угольнику и так далее. Таким образом можно получить последовательность плоских прямоугольных фигур, которые содержат в себе круг (см. рисунок 2). Вписывая в него и описывая вокруг него квадрат, 8-, 16-угольник и так далее, мы получаем последовательность плоских прямоугольных фигур, содержащих круг, причем все они сводимы к квадрату:
P4 < P8 < P16 < ... < Ρ2n <···< Ρ2n <···< Ρ16 < Ρ8 < Ρ4.
РИС. 2
Но есть ли гарантия, что все фигуры этого бесконечного ряда будут сводимы к квадрату? Напомним, что Аристотель запретил прибегать к понятию бесконечности — чтобы сделать невозможными подобные рассуждения. Рассмотрим следующее предложение, явно неверное:
Две стороны треугольника равны по длине третьей стороне (рисунок 3 на следующей странице).
Мы видим, что длина отрезков, составляющих ломаную линию, идущую от точки А до точки В, равна сумме длин сторон АС и СВ: АС + СВ = АС1 + С1А1 + А1С"1 + С'1В.
Если мы доведем эту последовательность до предела, ломаная линия сольется со стороной АВ, что доказывает ложность данного предложения. Гипотеза, верная до того, как ее «довели до предела», может оказаться ошибочной после этого.
РИС. 3
ПЛОЩАДЬ КРУГА В НАЧАЛАХ»
Евклид открывает книгу XII двумя предложениями, которые устанавливают одну и ту же теорему для правильных многоугольников, вписанных в круг, и для круга.
Книга XII, предложение 1. Подобные многоугольники, вписанные в круги, будут относиться друг к другу как квадраты диаметров этих кругов.
Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.
Первое предложение является прямым следствием теоремы Фалеса применительно к площадям, поскольку достаточно убедиться, что каждый из центральных треугольников, на которые раскладываются правильные многоугольники, подтверждает теорему Фалеса. Второе можно было бы доказать методом бесконечного ряда, но рассуждения, в которых используется понятие бесконечности, были неприемлемы для древнегреческих ученых (хотя в этом случае это было бы правильно). Евклид мог бы довести до предела предложение 2 книги XII таким образом: если для каждого многоугольника п вида п=2k справедливо соотношение
Р1n/d21 = Р2n/d22
и в самом крайнем случае Р1n равно S1 а Р2n равно S2 то есть от многоугольника переходим к кругу и получаем:
S1/d21 = S2/d22
Ч.Т.Д.
РИС. 4
Правильные многоугольники с 4,8,16,... сторонами все больше заполняют площадь круга.
Отказавшись от предела последовательности, нам остается только применить метод исчерпывания, то есть доказать, что квадрат, вписанный в круг, покрывает больше половины его площади. Если мы добавим треугольники, чтобы получить из квадрата восьмиугольник, получится больше половины площади, оставшейся после того, как мы уберем треугольник, и так далее. В какой-то момент вписанная в круг S многосторонняя фигура Р2k заполнит его так, что оставшееся пространство будет меньше любой другой предыдущей фигуры (см. рисунок 4).
- Предыдущая
- 23/30
- Следующая