Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Трехмерный мир. Евклид. Геометрия - Коллектив авторов - Страница 12
Единственный способ быть последовательными в этом случае — принять это предложение как постулат, что сделал много веков спустя немецкий математик Давид Гильберт (1862-1943) в своей строгой аксиоматизации геометрии.
РИС. 2
ПРЯМАЯ, КОТОРОЙ НИКОГДА НЕ БЫЛО
Несмотря на определения 2, 3 и 4 из книги I, Евклид ни разу не объяснил, что такое прямая, каковы ее свойства и каким критериям она должна отвечать. Тем не менее он ясно определил, что прямые конечны и их концами являются точки. В действительности Евклид занимался отрезками прямых. Но когда он говорит о равной длине диаметра в определении круга, то использует понятие расстояния. Для прямых его применил позже Архимед в первой аксиоме своего сочинения «О шаре и цилиндре»: «Прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками». Как мы увидели на примере предложения 4, Евклид использовал постулаты, не устанавливая их. В доказательстве предложения 1 книги I, проанализированном в главе 2, содержится утверждение, которое мы сейчас подробно рассмотрим:
Проведем прямые СА и СВ из точки пересечения двух окружностей С.
Что может служить гарантией существования точки С по Евклиду? Ничего, кроме рисунка, иллюстрирующего доказательство. Но это неприемлемо, так как рисунок может считаться правильным, только если точка С существует (вспомним изображения невозможных треугольников, использующиеся в доказательствах методом доведения до абсурда).
ИСКРИВЛЕНИЕ ФИГУР
Вопрос искривления возникает в «Началах» неявно. Перед тем как перейти к постулату о параллельных прямых, Евклид устанавливает очень интересный результат:
Книга I, предложение 17. Во всяком треугольнике сумма двух любых углов меньше двух прямых углов.
Чтобы правильно понять эту задачу, мы должны внимательно следовать за рассуждениями Евклида. Он хочет доказать, что сумма углов <BAG и <AGB меньше двух прямых углов. Для этого он переносит угол <EGZ, равный <BAG, к углу <AGB и наблюдает, что их сумма будет меньше, чем сумма <AGB и <AGD. Каким образом он переносит угол? Построив треугольник, который будет содержать его. Как? Согласно следующему доказательству:
1. Он делит сторону AG пополам и получает точку Е (Книга I, предложение 10).
2. Соединяет В и Е (постулат 1) и удваивает этот отрезок (постулат 2 и книга I, предложение 2). Получается точка Z.
3. Соединяет ее с точкой G (постулат 1). Евклид получает два равных треугольника (книга I, предложение 4), так как стороны ZE и EG треугольника ZEG равны сторонам BE и ЕА треугольника БЕЛ соответственно, по построению, а углы <GEZ и <АЕВ противоположны вершине и равны (книга I, предложение 15). Следовательно, оба треугольника равны, а угол <EGZ (который добавляется к углу <AGB) равен углу <BAG, что и требовалось доказать.
Евклид получил такой результат, поскольку точка Z располагается внутри угла <AGD. Но не может ли она располагаться и снаружи этого угла? Ответ на этот вопрос, которым Евклид даже не задавался, отрицательный, так как в его геометрии линии не искривляются. Для Евклида это само собой разумеется, но мы увидим, что эти логические лакуны обесценивают некоторые его доказательства.
В постулате 5 Евклид утверждает, что при некоторых условиях две прямые пересекаются: «Существует точка, принадлежащая им обеим». А в случае с окружностями он принимает это за такой очевидный факт, что не считает нужным говорить об этом. Здесь мы опять сталкиваемся со скрытым постулатом.
Равносторонний треугольник, построенный на отрезке АВ в первом предложении, существует, поскольку построение Евклида верно; но оно зависит от существования точки С. В реальности, в которой этой точки нет, не будет и треугольника. От этого зависят многие из первых доказательств Евклида. Возможность построения в «Началах» зависит от возможности построения точек. Ученый определяет необходимые и достаточные условия, при которых две прямые пересекаются, и правильно обозначает точки, появляющиеся таким образом. Но при этом он не говорит, при каких условиях пересекаются прямая и окружность, и следовательно, точки, получающиеся в местах их пересечения, как бы не существуют.
Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка.
Карл Фридрих Гаусс
Хотя он мог бы сделать это очень просто, достаточно было уточнить, например в случае с окружностями, следующее.
Постулат о пересечении двух окружностей. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше половины суммы их диаметров [то есть меньше суммы радиусов этих окружностей], то эти окружности пересекаются в двух точках.
Аналогичным образом можно определить условие, позволяющее выявить существование двух точек, образованных в результате пересечения окружности и прямой: прямая и окружность пересекаются [в двух точках], если перпендикуляр, идущий от центра окружности к прямой, меньше ее радиуса. Но Евклид ничего не говорит по этому поводу.
ПОСТУЛАТ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Все ученые, занимающиеся «Началами», согласны в том, что их структура и, в частности, постулат 5 (мы будем кратко обозначать его П5) принадлежат самому Евклиду. Это знаменитый постулат о параллельных прямых, который в формулировке Евклида гласит, что «в определенных условиях две прямые неизбежно пересекутся». Евклид впервые применяет его только в предложении 29 первой книги. Та часть геометрии, которая не зависит от этого постулата, получила название абсолютной геометрии. Дословно в пятом постулате говорится следующее.
Постулат 5 (П5). Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы, меньшие двух прямых.
Обычно постулат о параллельных прямых изучается не в этой оригинальной формулировке, а в том виде, в котором его изложил шотландский математик Джон Плейфэр (1748— 1819), профессор математики, а впоследствии и философии в Эдинбургском университете.
Постулат Плейфэра (ПП). В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.
Это утверждение имеет точно такой же смысл, как и постулат Евклида, и подчеркивает, что для П5 необходимы два условия: с одной стороны, существование «прямой, параллельной данной прямой, проведенной через точку, не лежащую на последней», а с другой стороны, эта прямая должна быть единственной. Это существование Евклид дает в предложении 31:
КРИВАЯ И ЕЕ АСИМПТОТА
При помощи пятого постулата Евклид предотвращает асимптотичность «искривления» прямых, как в случае с гиперболой и ее асимптотой (эта предосторожность тем более необходима, поскольку, как мы уже увидели, Евклид не дает полного определения прямой, так что мы не знаем ее полных основных свойств).
- Предыдущая
- 12/30
- Следующая