Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Тайны чисел: Математическая одиссея - Сотой Маркус - Страница 8
Первым, кто доказал нескончаемость простых чисел, был греческий математик Евклид, живший в Александрии. Он был учеником Платона, и время его деятельности также пришлось на III в. до н. э., хотя, по-видимому, он был на 50 лет старше библиотекаря Эратосфена.
Для того чтобы доказать бесконечность количества простых чисел, Евклид задался вопросом: может ли, напротив, множество простых чисел быть конечным? Конечный список простых чисел означал бы, что любое другое число может быть получено перемножением элементов этого конечного списка. Предположим, к примеру, что список простых чисел включает лишь три числа: 2, 3 и 5. Может ли любое число быть получено путем перемножения различных комбинаций 2, 3 и 5? Евклид придумал способ построения числа, которое не может быть получено таким путем. Он начал с перемножения списка простых чисел, что приводит к 30. Затем – и в этом была гениальная догадка – он добавил 1 к этому числу и получил 31. Ни одно из списка простых чисел, ни 2, ни 3, ни 5, не является его делителем. Всегда получается остаток 1.
Евклид знал, что все числа могут быть построены перемножением простых чисел – так что же можно сказать о 31? Так как оно не делится на 2, 3 или 5, должны быть другие простые числа, вне имеющегося списка, которые участвуют в построении 31. В действительности число 31 само является простым, так что Евклид создал «новое» простое число. Вы скажете, что в имеющийся список простых чисел нужно лишь добавить это «новое» число. Но, сколь бы ни был велик список, Евклид мог бы снова повторить свой прием – перемножить числа из списка и добавить 1. Каждый раз он получал бы число, которое при делении на любое число из списка давало бы остаток 1, значит, это новое число должно делиться на простые числа вне имеющегося списка. Таким образом Евклид доказал, что любой конечный список не может включать все простые числа. Следовательно, количество простых чисел должно быть бесконечным.
Хотя Евклид сумел показать, что простые числа никогда не заканчиваются, его доказательство не говорило, как найти простые числа. Можно было бы подумать, что, действуя в соответствии с указанной процедурой, мы будем генерировать новые простые числа. Ведь мы перемножили 2, 3 и 5, добавили 1 и получили новое простое число 31. Однако такая процедура срабатывает не всегда. Например, возьмите следующий список простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Перемножив их, мы получим 30 030, а добавив 1, придем к 30 031. Простые числа с 2 до 13 не являются делителями последнего числа, всякий раз при делении получается остаток 1. Тем не менее 30 031 не является простым числом, у него есть простые делители 59 и 509, которые не включены в наш список. В действительности математики до сих пор не знают, будет ли повторение процедуры перемножения конечного количества простых чисел и добавления 1 давать бесконечно много новых простых чисел.
Имеется видео, на котором моя футбольная команда в своей экипировке с простыми номерами объясняет, почему имеется бесконечно много простых чисел. Посетите http://bit.ly/Primenumbersfootball.
Почему вторые имена моих дочерей 41 и 43?
Если мы не можем занести простые числа в одну большую таблицу, то нельзя ли попытаться найти некую закономерность, которая помогла бы нам генерировать простые числа? Существует ли хитроумный способ, который позволит, глядя на имеющиеся простые числа, предсказать, где нужно искать следующее?
Вот те простые числа из интервала от 1 до 100, которые мы получили, используя решето Эратосфена:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Проблема простых чисел состоит в том, что бывает по-настоящему сложно понять, где окажется следующее из них; по-видимому, не существует каких-либо закономерностей в их последовательности, способных помочь нам в их поиске. На поверку они скорее напоминают набор номеров лотерейных билетов, а не строительные кирпичики математики. Это чем-то напоминает ожидание автобуса: крайне долго нет ни одного, но вдруг они идут один за другим с короткими интервалами. Такое поведение весьма характерно для случайных процессов, как мы увидим в главе 3.
За исключением 2 и 3, ближайшее расстояние между двумя простыми числами может быть равно 2, как между 17 и 19, либо 41 и 43, потому что число между каждой парой будет четным, следовательно, не простым. Такие пары крайне близких простых чисел называются простыми числами-близнецами. Из-за моей одержимости простыми числами мои дочери-двойняшки чуть не были названы 41 и 43. В конце концов, если Крис Мартин и Гвинет Пэлтроу назвали своего ребенка Яблоком, а Фрэнк Заппа своих дочерей – Лунный Модуль и Дива-кексик, то почему у меня не могут быть близняшки 41 и 43? Но жена не разделяла мой энтузиазм, поэтому эти числа стали «тайными» вторыми именами наших дочерей.
Хотя простые числа встречаются все реже и реже, когда вы углубляетесь во вселенную чисел, удивительно, насколько часто попадаются простые числа-близнецы. Например, после простого числа 1129 на протяжении 21 последующего числа нет ни одного простого, а затем неожиданно появляется пара 1151 и 1153. Когда вы проходите 102 701, вам необходимо преодолеть 59 составных чисел, а затем внезапно возникают простые числа-близнецы 102 761 и 102 763. В наибольших простых числах-близнецах, известных к началу 2009 г., 58 711 цифр. Если учесть, что число атомов в наблюдаемой Вселенной имеет 80 цифр, такие числа оказываются до нелепости большими.
Однако будут ли и затем встречаться близнецы? Благодаря доказательству Евклида мы знаем, что и дальше найдем бесконечно много простых чисел, но как насчет их пар? Пока еще никто не смог придумать хитроумное доказательство, подобное Евклидову, что простых чисел-близнецов бесконечно много.
Одно время казалось, что близнецы могут сыграть ключевую роль в раскрытии тайны простых чисел. В книге «Человек, который принял жену за шляпу» Оливер Сакс описывает случай из реальной жизни, когда два аутистичных близнеца, обладавших феноменальными способностями, использовали простые числа как тайный язык. Обыкновенно братья сидели в клинике Сакса и обменивались между собой большими числами. Сначала Сакса озадачил их диалог, но как-то вечером он сумел понять его секрет. Выучив одно простое число, он решил проверить свою догадку. На следующий день он решил присоединиться к близнецам, которые обменивались шестизначными числами. Сакс, воспользовавшись паузой, произнес семизначное число, что застало близнецов врасплох. Некоторое время они сидели в раздумьях, так как число выходило за пределы их привычного диапазона, но потом одновременно улыбнулись, как будто узнали старого друга.
За время, проведенное у Сакса, близнецы сумели достичь девятизначных простых чисел. Конечно, никто не нашел бы удивительным, обменивайся они нечетными числами или даже квадратами чисел. Поразительно было, что они использовали простые числа, которые настолько случайно распределены. Объяснение тому, что это у них получалось, возможно, крылось в другой способности братьев. Они часто появлялись на телевидении и впечатляли аудиторию своим умением определить, что, скажем, 23 октября 1901 г. было средой. Решение задачи о том, каким был день недели с названной датой, осуществляется с помощью модульной (модулярной) арифметики. Наверное, близнецы поняли, что модульная арифметика также играет ключевую роль в определении того, является ли число простым.
Возьмите какое-либо число, скажем, 17 и вычислите 217. Если остаток от деления полученного числа на 17 равен 2, то у вас будет хорошее свидетельство в пользу того, что число 17 является простым. Этот тест на простоту числа зачастую неверно приписывают китайцам. На самом деле французский математик XVII в. Пьер де Ферма доказал, что если остаток не равен 2, то число 17 наверняка не является простым. В более общем случае если вы хотите проверить, что число p не является простым, то вычислите 2p и разделите результат на p. Если остаток не равен 2, то число p не может быть простым. Некоторые люди допускали, что близнецы, обладая способностью определять дни недели, опирающейся на схожую технику нахождения остатков при делении на 7, вполне могли прибегать к данному тесту при нахождении простых чисел.
- Предыдущая
- 8/15
- Следующая