Тайны чисел: Математическая одиссея - Сотой Маркус - Страница 11

Но какое отношение имеет весь этот рис к поиску больших простых чисел? С того времени, как греки доказали, что простые числа продолжаются бесконечно, математики находились в непрестанном поиске умных формул, генерирующих все бо́льшие и бо́льшие простые числа. Одна из лучших таких формул была открыта французским монахом по имени Марен Мерсенн. Мерсенн был близким другом Пьера де Ферма и Рене Декарта, он служил своего рода интернет-хабом XVII в. Мерсенн состоял в переписке с учеными по всей Европе и делился идеями с теми, кто, на его взгляд, мог бы способствовать их дальнейшему развитию.

Его общение с Ферма привело к открытию мощной формулы для нахождения простых чисел. Секрет этой формулы спрятан в притче о рисе и шахматной доске. Когда вы считаете рисинки начиная с первой клетки, то сумма часто оказывается простым числом. Например, после первых трех клеток результат равен 1 + 2 + 4 = 7 рисинок, что является простым числом. Общее количество на пяти клетках будет 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 рисинка.

Мерсенн задался вопросом, не будет ли завершение подсчета рисинок на клетке, номер которой простой, также приводить к простому числу. Окажись так, появился бы способ получения все больших и больших простых чисел. Найдите, например, с помощью подсчета рисинок простое число, а затем перейдите к шахматной клетке, номер которой равен ему, и вы найдете еще большее простое число.

К несчастью для Мерсенна и математики, эта идея оказалась не совсем верной. Так, когда вы выберете 11-ю клетку на шахматной доске (этот номер соответствует простому числу), то с первой по эту клетку включительно будет 2047 рисинок. К сожалению, 2047 – составное число, оно равно 23 × 89. Но, хотя идея Мерсенна срабатывает не всегда, она привела к нахождению некоторых из самых больших известных простых чисел.

Книга Гиннесса простых чисел

Во время правления королевы Елизаветы I самым большим известным простым числом было количество рисинок на шахматной доске до девятнадцатой клетки включительно: 524 287. К тому моменту, когда лорд Нельсон сражался в Трафальгарской битве, рекордное простое число дошло до 31-й клетки: 2 147 483 647. Швейцарский математик Леонард Эйлер доказал в 1772-м, что это десятизначное число – простое. Оно удерживало первенство до 1867 г.

4 сентября 2006 г. рекорд перешел к числу, которое соответствует 32 582 657-й клетке, будь у нас достаточно большая шахматная доска. В этом новом простом числе более 9,8 миллиона цифр. Чтобы прочитать его вслух, потребовалось бы полтора месяца. Оно было найдено не каким-то гигантским суперкомпьютером, а математиком-любителем, который использовал программу, загруженную из интернета.

Замысел этой программы состоит в том, чтобы использовать компьютер во время его бездействия для проведения вычислений. В ней используется умная стратегия, которая была разработана для проверки того, являются ли числа Мерсенна простыми. Все же настольному компьютеру понадобилось несколько месяцев для проверки числа с 9,8 миллиона цифр. Но это намного быстрее методов, которые используются для тестирования того, является ли случайное число такого же размера простым. К 2009 г. более 10 тысяч человек присоединились к проекту по поиску простых чисел Мерсенна GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Однако будьте начеку, этот поиск небезопасен. Один доброволец GIMPS работал в американской телефонной компании. Он решил привлечь к своему поиску простых чисел Мерсенна 2585 компьютеров компании. Вскоре у руководства возникли подозрения: компьютерам требовалось 5 минут, а не 5 секунд, чтобы выдавать телефонные номера. Когда в конечном счете ФБР сумело найти причину замедления, служащий признался: «Вся эта вычислительная мощь была слишком большим искушением для меня». Но телефонная компания не прониклась симпатией к научному поиску и уволила служащего.

После сентября 2006 г. математики ждали затаив дыхание, что рекорд преодолеет барьер в 10 000 000 цифр. У предвкушения были не только академические причины: премия в $ 100 000 ждала того, кто первым преодолеет этот барьер. Деньги были выделены расположенным в Калифорнии Фондом электронных рубежей EFF (Electronic Frontier Foundation). Эта организация способствует сотрудничеству в киберпространстве и его развитию.

Понадобилось еще два года, чтобы рекорд пал. По жестокой прихоти судьбы с промежутком в несколько дней были найдены два простых числа-рекордсмена. Немецкий энтузиаст Ганс-Михаэль Элвених, занимавшийся любительским поиском простых чисел, решил, что он сорвал джекпот, когда его компьютер объявил 6 сентября 2008 г., что найдено новое простое число Мерсенна с 11 185 272 цифрами. Элвених представил результат жюри, но возбуждение сменилось отчаянием – его опередили на 14 дней. 23 августа компьютер Эдсона Смита, работавшего на математическом факультете Калифорнийского университета в Лос-Анджелесe (UCLA), нашел большее простое число с 12 978 189 цифрами. Обновление рекорда простых чисел не было в новинку для Калифорнийского университета. Математик Рафаэль Робинсон, работавший в UCLA, открыл пять простых чисел Мерсенна в 1950-х гг., и еще два были найдены Алексом Гурвицем в начале 1960-х.

Разработчики программы, используемой GIMPS, решили, что призовые деньги не должны просто быть отправлены счастливчику, получившему для проверки число Мерсенна. $ 5000 получили разработчики программного обеспечения, $ 20 000 были поделены между теми, кто обновлял рекорды после 1999 г., $ 25 000 пошли на благотворительность, а оставшиеся деньги достались Эдсону Смиту из Калифорнии.

Если вы по-прежнему хотите выиграть деньги посредством поиска простых чисел, не берите в голову, что отметка в 10 000 000 цифр уже пройдена. За каждое новое число Мерсенна будет выдан приз в $ 3000. Но, если вам нужны большие деньги, знайте, что $ 150 000 предлагается превзошедшему отметку в 100 миллионов цифр, а $ 200 000 получит тот, кто пересечет рубеж в миллиард цифр. Благодаря древним грекам мы знаем, что такие рекордные простые числа дожидаются, пока кто-нибудь обнаружит их. Вопрос лишь в том, насколько инфляция уничтожит призовые деньги, когда очередной рекордсмен подаст заявку на их получение.