Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте. - Коллектив авторов - Страница 28
Хотя после 1950 года Гёдель публиковался очень мало, это не значит, что он перестал размышлять и писать. Ученый оставил внушительное число неизданных рукописей, посвященных в основном философии и теологии, с исследованиями, среди прочего, на тему существования Бога, переселения душ и анализа философских работ Готфрида Лейбница. Все эти рукописи — поскольку Гёдель не оставил инструкций о том, что делать с ними, — были унаследованы его супругой Аделью, которая, в свою очередь, перед смертью в 1981 году передала их библиотеке Института перспективных исследований, где они и хранятся.
Среди неизданных бумаг выделяется текст Гиббсовской лекции, которую Гёделя пригласили прочитать на ежегодной встрече Американского математического общества, состоявшейся в Провиденсе 26 декабря 1951 года. По свидетельствам, Гёдель ограничился тем, что быстро прочел подготовленную заранее рукопись и даже не предоставил права на вопросы и комментарии в конце, хотя его встречали громкими аплодисментами, вызванными редкой возможностью лично увидеть гения такого уровня.
В последующие годы Гёдель занимался тем, что исправлял и завершал рукопись с намерением опубликовать ее, однако ему так и не удалось придать ей форму, которая удовлетворяла бы его самого. В конце концов лекция была опубликована в 1994 году как часть сборника под названием "Курт Гёдель, неизданные очерки".
Чем так интересна Гиббсовская лекция? В ней Гёдель очень детально (больше, чем в любой другой своей работе) изложил собственное понимание философских следствий из своих теорем о неполноте. В этой лекции он утверждал: теоремы доказывают, что математический платонизм — правильная позиция философии математики.
Вопрос состоит в следующем: математика создается или открывается? Это человеческое творение, или ученые открывают факты, существующие во внешней реальности независимо от них?
Платонизм утверждает, что математические объекты имеют объективное существование, и работа ученых состоит в том, чтобы открывать характеристики этих объектов. Платон был уверен, что наши ощущения — только деформированное отражение высшей действительности, существующей в "мире идей". В этом самом мире живут и объекты, исследуемые математиками.
Знаменитая теорема Гёделя о неполноте показывает, что нет никаких формальных [синтаксических] методов доказательства, с помощью которых можно доказать все математические истины.
Уиллард ван Орман Куайн о теореме Гёделя
Противоположная позиция, которая обычно называется формализмом и в которой собраны некоторые идеи интуиционизма и программы Гильберта, утверждает, что математика — это творение человека, подобное музыке. С этой точки зрения математика — лингвистическая (синтаксическая) игра, в которой есть некоторые отправные точки (аксиомы) и логические правила, позволяющие осуществлять операции на их основе. Работа ученого состоит в том, чтобы открыть, куда нас заведут правила игры (что, по сути, не сильно отличается от работы шахматиста, который ищет оптимальный ход в определенной позиции). Если, согласно платонизму, математические объекты существуют сами по себе, а ученые открывают их свойства, то формализм утверждает обратное: математические объекты и их свойства существуют лишь благодаря ученым. У обеих позиций есть сильные и слабые стороны, и они существуют в математической мысли параллельно друг другу. Современный философ математики Джон Барроу пишет: "Математики — формалисты с понедельника по пятницу и платонисты по выходным".
То есть для повседневной работы, для доказательства теорем и написания статей формалистская позиция является более подходящей, поскольку в конечном счете любая истина основывается на аксиомах, выбор которых не нуждается в дальнейших подтверждениях (в формализме требуется только, чтобы аксиомы были непротиворечивыми, но они не обязаны отражать внешнюю истинность). Однако по выходным, когда математики расслабляются, они чувствуют, что работают с "истинными объектами", существование которых независимо и реально (что бы это ни означало).
Обе позиции четко разделены в отношении вопроса континуум-гипотезы. В предыдущей главе мы увидели, что континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств. Так истинна она или ложна? Для чистого формалиста (хотя сегодня таких почти не существует) ответ не имеет смысла. Аксиомы — это правила игры, выбранные произвольно, не отражающие никакую внешнюю "истинность"; существуют только синтаксические понятия "доказуемого" и "недоказуемого", а не понятия "истинности" или "ложности". Согласно этой точке зрения так же законно добавить в теорию множеств новую аксиому, при которой СН будет доказуема, как и добавить другую аксиому, при которой она будет опровергнута. Две различные теории множеств могут существовать параллельно друг другу так же, как одновременно существуют различные виды шахмат (например, китайские и японские), которые допускают варианты правил игры, и нет необходимости думать, что существуют "истинные" шахматы.
Для платонизма, наоборот, аксиомы теории множеств отражают истину, которая существует объективно и в которой СН либо истинна, либо ложна, и не хватает всего лишь аксиомы, которая позволила бы решить вопрос.
Гёдель был убежденным платонистом и в статье, опубликованной в 1947 году под названием "Что представляет собой проблема континуума Кантора?", писал: "Следует отметить [...], что с точки зрения, принятой здесь, доказательство неразрешимости гипотезы Кантора на основе аксиом, принятых в теории множеств, [...] в какой-то степени решило бы проблему. Итак, если принять, что значение первичных символов теории множеств [...] корректно, то понятия и теоремы теории множеств описывали бы некую точно определенную действительность, в которой гипотеза Кантора должна была бы быть истинной или ложной". Позже, в 1963 году, дополнив доказательство о неразрешимости СН, Пол Коэн согласился с этой точкой зрения и рискнул предположить, что гипотеза Кантора на самом деле ложна.
Китайские шахматы — стратегическая игра из той же серии, что и западные шахматы и сёги (японские шахматы). Считается, что все они происходят от игры под названием чатуранга, зародившейся в Индии в VI веке. Для формалистов (которые подчеркивают синтаксические аспекты математики) выбор аксиом для математической теории не сильно отличается от определения правил настольной игры. Западные, китайские или японские шахматы — родственные настольные игры, но среди них нет "истинной" и "ложных". Подобно этому, поскольку континуум-гипотеза (СН) неразрешима относительно аксиом теории множеств, можно добавить СН или ее отрицание в качестве новой аксиомы. В обоих случаях получаются разные теории множеств (разные правила игры), и нельзя сказать, что одна из них истинная, а другая ложная. Для платонистов, наоборот, теория множеств относится к объективной действительности, в которой континуум-гипотеза на самом деле истинна или ложна.
Доска китайских шахмат с исходной позицией фигур.
РИС. 1
Как мы уже сказали, на Гиббсовской лекции 1951 года Гёдель утверждал, что его теоремы о неполноте доказывают справедливость платонистической точки зрения.
Рассмотрим кратко аргументацию Гёделя. В разуме каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое натуральные числа. Мы понимаем, как определяются основные операции и каковы их основные свойства. Например, мы воспринимаем, что умножение 8 на 5 равносильно физической операции образования восьми столбиков с пятью объектами в каждом из них (рисунок 1).
- Предыдущая
- 28/31
- Следующая