12 тверских математиков - Воробьев Вячеслав Михайлович - Страница 37

Начало научной деятельности Г.М. Голузина приходится на 1930-е годы. Его первые работы были посвящены задачам математической физики. Здесь уместно указать известное неравенство Карлемана—Голузина—Крылова. Однако уже в середине 1930-х годов Геннадий Михайлович обратился к геометрической теории функций (коротко ГТФ). Нужно сказать, что в 1920—1930-е годы эта наука находилась еще в периоде своего становления. Первым элементарным методом ГТФ был метод площадей, основывающийся па принципе неотрицательности площади.

Первым глубоким методом ГТФ стал параметрический метод Лёвнера, и решающая роль в развитии и распространении этого метода принадлежит Г.М. Голузину. Как известно, целью работы К. Лёвнера 1923 года было доказательство оценки модуля третьего коэффициента в классе S. Уже через несколько лет после появления статьи Лёвнера Г.М. Голузин обратился к параметрическому методу и использовал его для того, чтобы единообразно вывести основные результаты теории однолистных функций. В те годы Геннадий Михайлович получил этим методом новые результаты, к числу которых относится точная форма вращения. К методу Лёвнера Г.М. Голузин неоднократно возвращался и в последующие годы. В настоящее время метод Лёвнера принадлежит к числу основных методов ГТФ.

В 1965 году К. Лёвнер присутствовал на Международной конференции в г. Ереване. В беседе с ленинградскими математиками он сообщил, что всегда удивлялся тому развитию, которое получила его давняя работа.

В конце 1920-х — начале 1930-х годов Грётш разработал свой метод полос. Этот метод основывается на соотношениях между длиной и площадью, в нём рассматриваются характеристические конформные инварианты двусвязных областей и четырёхугольников. При помощи своего метода Грётш получил большое число глубоких результатов как для односвязных, так и для многосвязных областей. Однако работы Грётша длительное время не получали должного признания, возможно, что одной из причин этого была изоляция немецких учёных того времени от остального научного мира. Г.М. Голузин один из первых оценил возможности этого метода: в ряде своих работ 1930-х годов он получил различные приложения метода полос. Этим методом Г.М. Голузин впервые доказал теорему о существовании в образе единичного круга при его отображении функцией класса S n отрезков, выходящих из начала координат под равными углами, сумма длин которых ≥ n. Впоследствии метод полос Грётша лёг в основу метода экстремальной метрики, широко используемого в настоящее время в ГТФ и нашедшего приложения и в других областях математики.

Вариационное исчисление для однолистных функций значительно отличается от классического вариационного исчисления, поскольку классы однолистных функций являются в высокой степени нелинейными. В 1938 году Шиффер создал метод граничных вариаций, а в 1943 году — метод внутренних вариаций. Первые приложения, полученные Шиффером, носили в основном характер качественных результатов для экстремальных функций в задаче о максимуме модуля коэффициентов класса S. В серии своих работ 1946—1951 годов Г.М. Голузин разработал свой вариант метода внутренних вариаций. Доказательство Г.М. Голузина в основном элементарно и основывается на свойствах мажорантных степенных рядов. Г.М. Голузин применил свой метод вариаций к различным задачам теории однолистных функций. Результаты, полученные вариационными методами Шиффера и Голузина, обнаруживают существенную роль квадратичных дифференциалов при решении экстремальных задач. В ряде случаев доказательства, полученные вариационным методом Голузина, оказываются значительно проще доказательств при помощи метода Шиффера.

Геннадий Михайлович получил своим методом результаты в проблеме Чеботарёва и в задаче о максимуме n-го диаметра (эти вопросы играют большую роль в теории ёмкости плоских множеств), в задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих областей, различные теоремы искажения.

Научное наследие Г.М. Голузина весьма разнообразно и далеко не исчерпывается упомянутыми результатами. В качестве лишь некоторых примеров укажем его работу по р-листным функциям, обширное исследование внутренних свойств функций классов Харди, результаты для однолистных функций в многосвязных областях. Результаты Г.М. Голузина послужили началом различных направлений исследований в ГТФ и оказали большое влияние на современную проблематику этой теории, Геннадий Михайлович уделял большое внимание распространению идей и результатов ГТФ. Блестящая эрудиция и мастерство изложения позволили ему написать яркие обзоры по ГТФ. К ним относится обширная обзорная статья «Внутренние задачи теории однолистных функций», опубликованная в 1939 году в журнале «Успехи математических наук». Эта статья является одним из первых обзоров, посвящённых геометрической теории функций, в мировой литературе. Продолжение этого обзора было опубликовано в 1949 году в отдельном томе «Трудов МИАН».

Несколько поколений математиков учились по монографии Г.М. Голузина «Геометрическая теория функций комплексного переменного». Первое издание этой книга вышло в 1952 году, второе, дополненное, — в 1966 году, эта книга была переведена на немецкий и английский языки. Монография Г.М. Голузина энциклопедична по своему содержанию: наряду с методами ГТФ (параметрический метод Лёвнера, метод вариаций, метод полос Грётша и другие методы) в ней излагаются общие вопросы теории конформного отображения односвязных и многосвязных областей, метрические свойства замкнутых множеств, различные принципы мажорации, граничные свойства аналитических функций. Эта монография является настольной книгой современных аналитиков.

Многие математики впервые познакомились с Г.М. Голузиным как редактором превосходного перевода двухтомного труда Е.Т. Уиттекера и Г.Н. Ватсона «Курс современного анализа», опубликованного ГТТИ в 1934 году.

Г.М. Голузин уделял большое внимание педагогической деятельности. Помимо курса лекций по теории функций комплексного переменного на математико-механическом факультете ЛГУ, Геннадий Михайлович читал различные спецкурсы и руководил семинарами по ГТФ: студенческим семинаром и семинаром для более подготовленных слушателей. Автор этой заметки была одним из последней группы студентов математико-механического факультета ЛГУ, специализирующихся по ГТФ под руководством Г.М. Голузина. Помню, как Геннадий Михайлович поручил мне рассказать на студенческом семинаре доказательство теоремы Лаврентьева—Шепелева—Ренгеля методом полос, приведенное в его обзорной статье 1939 года (позднее Геннадий Михайлович включил это доказательство в свою монографию). Некоторые моменты доказательства сначала не были мне понятны. Геннадий Михайлович сразу понял показанный ему рисунок. «У Вас очень сложно, — сказал он мне. Эти куски просто не нужно рассматривать» (речь шла о частях области, отсекаемых прямолинейными отрезками). Геометрическое доказательство теоремы, предложенное Г.М. Голузиным, прекрасно иллюстрирует основные идеи метода полос Грётша. Впоследствии оно служило мне примером, помогающим понимать геометрический смысл ряда доказательств методом экстремальной метрики.

Г.М. Голузин очень внимательно относился к своим ученикам. Хорошо помню, как в начале лета 1951 года, перед студенческими каникулами, Геннадий Михайлович, будучи уже тяжело больным, пригласил нас к себе домой, чтобы заранее дать нам темы дипломных работ. «Вы ведь будете работать летом, правда?» — сказал нам на прощание Геннадий Михайлович, явно с надеждой на положительный ответ.

На семинаре по ГТФ, руководимым Г.М. Голузиным, вырос ряд известных математиков. К числу прямых учеников Геннадия Михайловича относятся Ю.Е. Аленицын, С.А. Гельфер, Л.И. Колбина, Н.А. Лебедев, Ю.Д. Максимов, И.М. Милин, Л.Н. Слободецкий. В работах Н.А. Лебедева и И.М. Милина — как и для Г.М. Голузина, геометрическая теория функций стала главным делом их жизни — нашли прямое продолжение многие исследования Г.М. Голузина.

После Г.М. Голузина руководство семинаром по ГТФ в течение 30 лет (1952—1982) продолжал Н.А. Лебедев. В своей работе семинар следовал традициям, заложенным Г.М. Голузиным. В те годы Ленинградский семинар имел многочисленную аудиторию, на нём выступали с докладами многие математики из других городов.