Иллюзия пользователя. Урезание сознания в размерах - Норретрандерс Тор - Страница 15

Другими словами, его проект заключался в том, чтобы закрепить математику несколькими логическими математическими принципами, из которых все остальное может быть окончательно доказано. Это значило, что логика сможет объяснить большинство из того, что исходит из человеческой интуиции — следовательно, не будет необходимости в априорных знаниях Канта — вещах в нашем понимании, которые не могут найти рационального объяснения. И в окончательном анализе объяснение понимания будет основано на факте, что мы то, что мы есть и мы воспринимаем мир так, как мы это делаем. Гильберт хотел отойти от этого нелогичного априорного знания. Он хотел получить полностью прозрачное объяснение наших знаний.

В 1800-х годах французский философ Огюст Конт стал основоположником позитивизма — философской школы, которая говорит, что нам нужно ограничиться только знанием, которое имеет позитивное подкрепление — то есть может быть получено через опыт или путем логических, или математических доказательств. Все остальное ненаучно. Конт серьезно критиковал Канта.

Но по мнению Гильберта, позитивизм продвинулся не слишком далеко. Он выразил свое мнение по поводу Конта и его обсуждения проблемы нерешаемых задач (что является проблемой для любой философии, которая принимает только знание, правильность которого может быть доказана). Гильберт утверждал: «В попытках дать пример нерешаемой задачи философ Конт однажды сказал, что науке никогда не удастся установить секрет химического состава тел Вселенной. Через несколько лет эта проблема была решена… Истинная причина, почему, по моему мнению, Конт не мог найти нерешаемую задачу, состоит в том факте, что такой вещи, как нерешаемые задачи, не существует».

Нет предела познанию — все может быть понято, и однажды все будет понято. Мы должны знать. Мы будем знать.

В тот день Гильберт пришел на местную радиостанцию. Два кенигсбергских математика позаботились о том, чтобы свои заключения он мог повторить в студии, а его слова могли попасть в эфир и быть записаны для потомства.

Констанс Райд, которая написала хорошую биографию Гильберта, отмечает: «Его последние слова, произнесенные в микрофон, были твердыми и уверенными: «Мы должны знать. Мы будем знать». Когда он поднял глаза от бумаги и техник выключил запись, он засмеялся. Запись, которая была сделана по время последней части его речи в Кенигсберге, все еще существует. И в конце, если слушать очень внимательно, можно услышать, как Гильберт смеется».

Но Гильберт не знал, что в числе слушателей этого обращения был никому не известный 24-летний математик их Вены, который двумя днями ранее, 7 сентября 1930 года в первый раз, скорее всего, без всякой задней мысли в том же самом Кенигсберге рассказал своим друзьям-математикам о сделанном им открытии — открытии, которое было основано на программе Гильберта об установлении основ математики. Но это открытие полностью разрушало эту программу.

Этим молодым человеком был Курт Гедель. Его упоминание об этом открытии прошло практически незамеченным среди его коллег. Он сделал его на семинаре по эпистемологии науки, который посещали многие великие математики тех дней. Однако важность этого открытия дошла до них только после того, как его теорема была опубликована.

17 ноября Гедель представил статью, в которой содержались сделанные им доказательства, в журнал «Monatshefte fur Mathematik und Physik». Она была опубликована в январе 1931 года, но в рождественский сочельник 1930 года ассистент Геделя Пол Бернейс написал Геделю с просьбой предоставить ему копию для печати. Когда Бернейс рассказал Гильберту о работе Геделя, Гильберт «несколько рассердился». Но он высоко показал себя и как человек, и как ученый в 1939 году, вместе с Бернейсом расширив работу Геделя и добавив в нее несколько важных технических деталей.

На могильном камне Гильберта в Геттингене высечены слова: «Мы должны знать. Мы будем знать». Но он прожил достаточно долго, чтобы понять: на самом деле нам это никогда не удастся.

В 1910-13 годах британский философ и математик Бертран Рассел и математик А.Н. Вайтхед опубликовали работу «Principia mathematica», которая была призвана вывести все математические теории из законов логики. Готовя эту работу, Рассел обнаружил то, что сегодня известно как «парадокс Рассела», который во всех отношениях испортил их общий проект. Выяснилось, что математике свойственны неотъемлемые противоречия: парадоксы появляются в системах, которые во всем остальном являются вполне логичными. Проблемы начались тогда, когда математические величины начали соотноситься сами с собой. Но Рассел считал, что с этой проблемой можно справиться. И очевидно, было найдено красивое техническое решение.

Статья Геделя, написанная в январе 1931 года, носила название «О формально неразрешимых утверждениях в «Principia mathematica» и сходных системах». Другими словами, свое осознание Гедель напрямую связывает с работами Рассела и Вайтхеда.

Бертран Рассел был человеком широких интеллектуальных способностей. Он стал одним из доминирующих философов 20 века, занимаясь почти всеми философскими дисциплинами (и в течение своей жизни принимая очень различные философские позиции). Когда он, как ему казалось, решил все фундаментальные задачи в «Principia mathematica», он оставил математическую логику.

В 1963 году он писал: «Прошло уже 50 лет с тех пор, как я серьезно работал над математической логикой, — и практически единственная работа, которую я с тех пор прочел — это работа Геделя. Я, конечно, понял, что работа Геделя имеет фундаментальное значение — но она меня озадачила. Она заставила меня порадоваться тому, что я больше не занимаюсь математической логикой».

Тем не менее именно благодаря работе Геделя тема столетия действительно начала разворачиваться.

«Я лгу». Это утверждение, парадокс лжеца, преследовало европейскую мысль на протяжении тысяч лет. Если оно истинно, то оно ошибочно — и наоборот. Лжец, который говорит, что он лжет, должен говорить правду: если он лжет, то, когда он говорит, что лжет, на самом деле не лжет.

Существует множество более техничных версии этого парадокса, но смысл у них один: при соотнесении с самим собой возникают сложности. Это касается случаев, когда человек утверждает, что он лжет, а также случаев, когда человек говорит очень кратко. Такие парадоксы отвратительны. Один из них известен как «антиномия Ричарда» и касается он теории множеств.

Гедель уничтожил надежду математической логики изучить утверждения, напоминающие подобные парадоксы — или антиномии, как их предпочитают называть философы. Одно из очень немногих нематематических предложений в его работе 1931 года гласит: «Аналогия этого аргумента с антиномией Ричарда бросается в глаза. Он также тесно связан и с «Лжецом».

Оригинальная идея Геделя заключалась в том, чтобы принять утверждение «Я не могу быть доказан». Если это верно, мы не можем это доказать. Если это неверно, то мы можем это доказать — то есть мы доказали правильность чего-то, что не является правильным. Утверждение может быть верным тогда и только тогда, когда оно не может быть доказано.

Для математической логики это было не очень хорошо — но не потому, что это было парадоксом, противоречием. Проблема скорее заключалась в том, что утверждение «Я не доказуем» верно. Оно значит, что существует истина, которую мы не можем доказать. Существуют истины, к которым мы не можем прийти путем математических или логических доказательств.

Это неформальная версия доказательства Геделя — даже учитывая, конечно, что изначально оно было выражено в значительно менее строгой версии и менее формальных терминах. Гедель показал, что утверждения могут быть закодированы в виде чисел. Следовательно, он перевел проблему с утверждениями, которые опираются сами на себя, в числа, которые «опираются сами на себя».

Это простая, но очень глубокая идея. И она ведет к пониманию того, что логическая система никогда не сможет доказать свою последовательность. Истина или правильность логической структуры или языка никогда не может быть доказана изнутри. Вам нужно находиться вне системы и сказать: «Она последовательна. Она цельная». Последовательность и свобода от противоречий никогда не могут быть доказаны изнутри системы.