Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии - Гомес Жуан - Страница 15
1) при уменьшении d α стремится к прямому углу (90°);
2) при увеличении d α стремится к 0.
Этот результат можно наглядно представить с помощью резиновой ленты. Точка Р является концом растянутой резинки, расположенной перпендикулярно прямой l, так что точка Р может двигаться вверх-вниз, увеличивая и уменьшая длину резинки, вместе с которой будут двигаться прямые, проходящие через точку Р. Таким образом, мы увидим, как будет меняться угол параллельности.
При этом существует постоянная величина, которую мы обозначим k, зависящая от единицы измерения длины d и выражаемая следующим образом:
Предыдущий результат можно получить по-другому. Когда значение d увеличивается, правая часть уравнения будет стремиться к 0, и поэтому значение tg (α/2) также стремится к 0, что означает, что α практически 0.
Аналогично, когда d очень мало, значение tg (α/2) — будет приближаться к 1, что означает, что
, то есть α будет прямым углом, так как π/2 = 90°.В евклидовой геометрии этот угол не меняется при изменении расстояния. В гиперболической геометрии, как мы видим, угол всегда зависит от величины d.
В евклидовой геометрии расстояние между параллельными прямыми на всем их протяжении всегда одно и то же. Как и следовало ожидать, в мире гиперболической геометрии ситуация оказывается несколько иной.
Рассмотрим прямую l и параллельную ей прямую s. Выберем точку Р на s, как на следующем рисунке:
При перемещении точки Р вправо мы видим, что расстояние от Р до прямой l уменьшается. Выражаясь математическим языком, это расстояние стремится к нулю.
Мы также можем сказать, что прямые l и s асимптотически сходятся справа.
Аналогично, если точка Р движется налево, мы видим, что расстояние от Р до прямой l увеличивается. В этом случае говорят, что прямые l и s расходятся. Поэтому, когда в гиперболической геометрии имеются прямые, расстояние между которыми остается постоянным, то такие прямые не могут быть параллельны. Иначе это противоречило бы пятому постулату гиперболической геометрии. Прямая, находящаяся на постоянном расстоянии от данной прямой, называется эквидистантой.
Теперь мы рассмотрим результаты, связанные с треугольниками, кругами и отношениями между площадью и длинами. Эти результаты включают теорему Пифагора, и мы увидим, как она работает в гиперболической геометрии на примере некоторых задач, знакомых нам со школы.
Треугольники
Формула для площади треугольника в евклидовой геометрии всегда одинакова для любого треугольника: s = (b·h/2) то есть площадь равна половине произведения основания треугольника на высоту. В основе этого выражения лежит тот факт, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.
Но в гиперболической геометрии, как ни странно, площадь треугольника зависит от суммы его углов. Как мы уже говорили, в гиперболической геометрии сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Следовательно, сумма углов в четырехугольнике также будет меньше 360°.
В евклидовой геометрии если три угла A, В и С одного треугольника и три угла А', В' и С' другого треугольника соответственно равны, то эти треугольники являются подобными. Это не означает, что их соответствующие стороны имеют одинаковую длину. В гиперболической геометрии у таких треугольников с соответственно равными углами будут равны и соответствующие стороны.
Теперь рассмотрим этот случай более подробно. Пусть А, В и С — углы одного треугольника. Их сумма меньше двух прямых углов (180°), и поэтому разность 180 — (А + В + С) будет положительна. Эта разность называется угловым дефектом, и мы имеем следующий результат: площадь любого треугольника пропорциональна его угловому дефекту.
Если мы обозначим через k коэффициент пропорциональности, то формула для площади треугольника (S) будет выглядеть следующим образом:
так что максимальное значение площади треугольника равно π · k2 (в гиперболической геометрии не бывает треугольников с бесконечной площадью). Мы не приводим доказательство этого результата, так как оно достаточно сложное. Мы лишь записали окончательную формулу, какой бы странной она ни казалась.
Выражение для площади треугольника подтверждает то, о чем мы говорили раньше. На самом деле в евклидовом случае два треугольника с одинаковыми углами не обязательно имеют одинаковую площадь и, следовательно, не обязательно равны. Однако в гиперболическом мире одинаковые углы (и, следовательно, одинаковый угловой дефект) означают одинаковый размер.
Также в гиперболической геометрии чем больше треугольник, тем больше его площадь и тем меньше сумма его углов. Для очень малых площадей (для бесконечно малых, в терминах математики) сумма углов треугольника стремится к 180°. Таким образом, можно сказать, что геометрия Евклида является предельным случаем гиперболической геометрии.
Иоганн Генрих Ламберт, о котором мы уже упоминали в третьей главе, еще в середине XVIII в. заметил, что, отказавшись от пятого постулата Евклида, он получил следующий результат: сумма углов треугольника увеличилась, приближаясь к 180° по мере уменьшения площади треугольника.
Круги
В школьной геометрии изучаются не только треугольники. В школьную программу входят и другие геометрические фигуры, например, круги, поэтому каждый знает, что такое радиус круга. В геометрии Евклида длина окружности С пропорциональна радиусу r. Это соотношение включает в себя знаменитое число π:
С = 2·π·r.
Однако, в гиперболической геометрии длина окружности рассчитывается по следующей формуле:
В этом выражении k является коэффициентом пропорциональности, a sh — так называемым гиперболическим синусом. Число е нам уже знакомо, с точностью до нескольких десятичных знаков оно записывается как 2,718281828 …Также напомним, что
Теперь возьмем предыдущее выражение
и разложим его в ряд:
Таким образом получим новое выражение для длины окружности в виде бесконечной суммы слагаемых.
Если мы посмотрим на вторую часть выражения
то заметим, что при очень малых r множитель
будет стремиться к 1, и поэтому формула сведется к известному выражению евклидовой геометрии:С = 2·π·r.
- Предыдущая
- 15/29
- Следующая