Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Мир математики. т.3. Простые числа. Долгая дорога к бесконечности - Грасиан Энрике - Страница 7
* * *
С ПОМОЩЬЮ КАЛЬКУЛЯТОРА
Хорошо бы использовать мощность компьютеров и написать программу, которая находила бы длинные ряды чисел, не содержащие простых чисел. В самом деле, алгоритм довольно прост, но нужно иметь в виду, что, работая с выражениями, содержащими факториалы, можно довольно быстро исчерпать память калькулятора. Факториалы будут расти с головокружительной быстротой. Это можно проверить на любом карманном калькуляторе, используя клавишу факториала (символ«!»). Посчитаем факториалы первых десяти чисел:
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120; 6! = 720; 7! = 5040; 8! = 40320; 9! = 362880; 10! =3628800.
Большинство калькуляторов не смогут посчитать факториалы чисел, которые больше 70.
* * *
Во время концерта иногда возникает момент, когда публика оживляется и начинает аплодировать в такт музыке. Однако через некоторое время синхронность между ритмом хлопков аудитории и ритмом игры музыкантов нарушается. В случае простых ритмов синхронность может сохраняться довольно долго, но для более сложных ритмов это практически невозможно. Воспользуемся этой аналогией в отношении попыток математиков навязать чувство ритма простым числам, например, «один, два, три… вперед!» Но это не работает: простые числа не встречаются через каждые три составных числа. Попробуем по-другому: «один, два, три, двадцать, сто… вперед!» И это не работает. Мы могли бы повторять подобные попытки до бесконечности. Даже сегодня мы не знаем, подчиняются простые числа некоему чертовски сложному ритму или у них совсем нет чувства ритма.
Как найти закономерность в последовательности чисел? Для этого существует много способов. Важно, чтобы эта закономерность предсказывала появление следующего числа в последовательности. Например, для последовательности
2, 4, 6, 8, …
очевидно, следующее число будет 10.
В случае последовательности
1, 3, 5, 7, …
также легко предсказать, что следующее число — 9. Первый пример представляет собой последовательность четных чисел, а второй — нечетных. Еще один пример:
2, 3, 5, 9, 17….
Здесь каждое число получается умножением предыдущего на 2 и вычитанием из результата единицы.
Выражаясь языком математики, закономерность точно определена, если имеется «общий член» — выражение, позволяющее получить значение каждого члена последовательности, просто подставив значение индекса n. Например, для последовательности четных чисел формула общего члена выглядит так:
аn = 2n.
Если n = 1, то а1 = 2 х 1 = 2.
Если n = 2, то а2 = 2 х 2 = 4.
Если n = 3, то а3 = 2 х 3 = 6.
В случае последовательности нечетных чисел мы имеем следующую формулу общего члена:
аn = 2n + 1.
Эту формулу можно использовать для нахождения значения любого члена. Например, чтобы найти значение члена, занимающего двадцать седьмую позицию в последовательности, мы подставим n = 27 в формулу общего члена:
а27 = 2 х 27 + 1 = 55.
Нахождение формулы общего члена эквивалентно нахождению закономерности в данной последовательности. Возникает вопрос: поскольку мы можем найти любой член последовательности по формуле общего члена, можем ли мы найти эту формулу, имея достаточное количество членов последовательности? Для многих последовательностей ответ на этот вопрос часто является довольно сложной задачей.
Например, предсказать следующий член в последовательности
не так уж легко. И действительно, формула общего члена в данном случае выглядит так:
Чтобы найти первые три члена, подставим соответствующие значения n:
На протяжении многих веков это являлось одной из главных задач математиков в изучении простых чисел, но попытки найти закономерности и правила всегда заканчивались неудачей и разочарованием. Может, этот хаотический набор чисел действительно регулируется случайностью? Но математики, по-видимому, умеют ценить неудачи: пусть их усилия не достигают цели; даже в этом случае, возможно, будут найдены новые пути, разработаны другие математические методы или открыты новые понятия. Часто кажется, что поставленная цель была лишь предлогом для работы над новой задачей. Поэтому простые числа были и продолжают оставаться одним из самых богатых источников парадоксов и гипотез.
Хотя общий закон для простых чисел нельзя установить, можно по крайней мере, изучать поведение некоторых простых чисел, имеющих особые свойства. Представьте себе, будто мы стоим у двери, через которую постоянно проходят группы людей. Мы знаем, что некоторые из них мужчины, а другие — женщины, но мы не можем найти правило, которое предсказывает, кто следующий появится в дверях.
И вот однажды мы замечаем некоторую особенность: оказывается, мужчины появляются в шляпах, а женщины в очках, с детьми и с зонтиками. Тогда мы пытаемся найти правило для каждой из таких групп: например, что мужчины в шляпах появляются в сто раз чаще, чем женщины, или что за каждым мужчиной обязательно следует женщина. Это позволяет нам найти некую закономерность. И может показаться, что такое правило действительно работает, пока мы не проверим его на трех миллионах человек. Тогда мы воскликнем: «О, почти!» И сформулируем результаты нашего исследования словами, которые часто использовались в истории простых чисел: «Похоже на то, что почти всегда…»
* * *
ОДИНОЧЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Между двумя соседними простыми числами могут находиться миллионы и миллионы составных чисел или всего лишь одно, ведь это самое короткое расстояние между простыми числами, так как, за исключением чисел 2 и 3, простые числа никогда не следуют друг за другом. Этот факт был использован в виде метафоры в названии книги Паоло Джордано «Одиночество простых чисел». В одной из глав романа эта метафора описана более подробно: «В университете на одной из лекций Маттиа узнал, что среди простых чисел есть особенные. Математики называют их парными, или числами-близнецами. Это пары простых чисел, которые стоят рядом, то есть почти рядом, потому что между ними всегда оказывается другое число, которое мешает им по-настоящему соприкоснуться. Это, например, числа 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43. Маттиа думал, что они с Аличе — вот такие простые числа-близнецы, одинокие и потерянные, вместе, но недостаточно близкие, чтобы по-настоящему соприкоснуться друг с другом».
* * *
Действительно, некоторые группы простых чисел удалось описать (в общей сложности несколько десятков), и это позволило добиться определенного прогресса.
Мы остановимся на некоторых необычных парах простых чисел, имеющих свойства, которые помогут нам лучше представить математические трудности, связанные с этим непредсказуемым множеством.
Два простых числа не могут идти друг за другом, так как каждое простое число является нечетным. Следовательно, между двумя из них должно быть четное число, которое не является простым. Таким образом, два простых числа всегда разделены по крайней мере одним числом. Исключение составляют числа 2 и 3, так как 2 является единственным четным простым числом.
В первой сотне натуральных чисел мы можем найти следующие пары чисел, отличающихся на две единицы:
(3, 3), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (39, 61) и (71, 73).
- Предыдущая
- 7/30
- Следующая