Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт - Страница 7

Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.

Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.

Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.

И чтобы окончательно развеять сомнения, добавим, что в источниках вавилонского периода многократно встречается задача о вычислении квадратного корня. Документально подтверждено, что вавилоняне умели вычислять квадратный корень из 2 с удивительной точностью.

Все это доказывает, что в культуре Месопотамии было известно, сколь важную роль играло вычисление квадратных корней в решении задач. Помимо прочего, им также было известно, что некоторые квадратные корни имеют точные значения, а другие имеют бесконечное множество знаков, и их значение можно вычислить только приближенно. Вавилонские математики терпеливо вычисляли значения этих корней со все большей точностью.

Существование письменных источников показывает, как важно передать полученные знания потомкам, чтобы новые поколения мудрецов смогли уточнить, пересмотреть и дополнить полученные ранее результаты. Подобно тому как астрономы оставляли свидетельства о своих наблюдениях, математики увековечивали свои открытия. Но сделать это было непросто. Для этого требовался богатый язык, объединявший числа, формы, рассуждения, вычисления и так далее, чтобы передавать знания из поколения в поколение.

Индийский математик Джордж Гевергезе Джозеф в своей книге «Павлиний хохолок» блестяще рассказывает о том, какой вклад внесли индийские математики в развитие этой науки, сыграв главную роль в открытии теоремы Пифагора. Долина Инда была плодородной во многих смыслах. Ее земли давали обильный урожай, и уже в 3000 году до н. э. появилось множество поселений, из которые постепенно формировались города. Мохенджо-Даро, Хараппа, Таксила и Лахор — следы пышных цивилизаций, которые процветали в этом регионе. Скотоводство и выращивание пшеницы, ячменя, хлопка и кунжута обеспечивало жителей этих поселений всем необходимым для жизни. Уже тогда они понимали, что нужно разделять земли и грамотно распоряжаться урожаем, делая запасы в периоды изобилия, чтобы справиться с будущими неурожаями и прокормить растущее население. Черчение, измерение, счет, взвешивание — основные геометрические и арифметические задачи были прекрасно известны жителям долины.

Культура Хараппа

К сожалению, хараппскую письменность не удалось расшифровать, поэтому мы можем полагаться лишь на археологические находки. Благодаря им известно, что в Хараппской цивилизации существовала система мер и весов. Были найдены грузила одинаковой формы и веса, которые не менялись на протяжении более пятисот лет.

Раскопки в Лотхале позволили определить эталонные веса, которые использовались в системе измерений, сочетавшей в себе пятеричную и десятичную системы. Взяв за основу гирю весом примерно 27,384 грамма и обозначив ее вес за единицу, исследователи определили, что использовались веса, равные 0,1; 0,2; 0,3; 1; 2; 5; 10; 20; 50; 100; 200 и 500 единиц. Также были найдены различные инструменты для измерения длины. Единица длины равнялась примерно 33,5 миллиметра.

Здания были построены по единым нормам и обладали структурным совершенством. В культуре Хараппа также была высоко развита геометрия. В этой местности недоставало камня, поэтому использовалась обожженная глина. В печах изготовлялись многие тысячи кирпичей. Кирпич в отличие от глины, высушенной на солнце, не разрушался во время дождей и во время разлива рек, благодаря которым земля в той местности была столь плодородной. Здания из этих кирпичей устояли под натиском времени. Качество кирпичей было так высоко, что в XIX веке инженер Уильям Брайтон использовал кирпичи, найденные на раскопках в руинах Хараппы, вместо щебня при постройке железной дороги длиной в 150 километров, соединившей Мултан и Лахор. Хотя были обнаружены кирпичи пятнадцати разных размеров, для всех соблюдалось соотношение сторон 4:2:1, которое считается оптимальным даже в наши дни. Арифметика и геометрия, числа и формы составляли часть Хараппской культуры, искусства, науки и техники.

Ведическая культура

Около 1500 года до н. э. кочевники с севера завоевали Хараппскую цивилизацию, ассимилировав некоторые ее обычаи. Этот народ, арии, говорил на индоевропейском языке — санскрите. Именно на этом языке написаны древнейшие памятники письменности. На нем говорили о философии, астрономии, математике, грамматике, религии — обо всем, что было необходимо потом записать. На санскрите записывали гимны и речи, обряды и церемонии, формулы и заклинания, а также очень точные правила фонетики (чтобы правильно говорить), грамматики (чтобы правильно писать), стихосложения (чтобы научиться писать стихи), астрономии (чтобы определять подходящее время для жертвоприношений, вычислять положение Солнца и Луны в разных накшатрах — аналогах зодиакальных созвездий) и математики (чтобы определять форму и площадь алтарей, веди, и расположение агни — источников священного огня, чтобы жертвоприношения возымели силу). Здесь снова появляются письменные упоминания о теореме Пифагора — возможно, за несколько веков до рождения самого Пифагора.

Шульба-сутры и алтари

Важнейшими математическими источниками ведической культуры являются шульба-сутры. Сутры — это особый жанр письма, максимально кратко выражающий суть высказывания, которое нужно передать. Для них были определены точные грамматические правила, подобные математическим законам. В шульба-сутрах в поэтической форме описываются алтари для жертвоприношений. Алтари квадратной и круглой формы, которые было легко соорудить, подходили для домашних ритуалов. Для публичных обрядов требовались более сложные алтари, состоящие из прямоугольников, треугольников, трапеций и других геометрических фигур. Один из этих алтарей имеет форму сокола, который готовится взлететь. Считалось, что если принести жертву на этом алтаре, то душа молящегося вознесется соколом прямо на небеса.

Ведический алтарь в форме сокола. Буквы обозначают разные типы кирпичей, используемых при постройке

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)

Одной из важнейших характеристик алтаря была его площадь. Чтобы рассчитать ее, требовались формулы, с помощью которых можно было бы преобразовать одну геометрическую фигуру в другую той же площади. Подобные формулы содержатся в шульба-сутрах. В шульба-сутре Бодхайяны, датированной 800–600 годами до н. э., содержится формулировка теоремы Пифагора, методы вычисления квадратного корня из 2 (с точностью до пятого знака после запятой), а также описан ряд геометрических построений. Среди них — различные решения задачи о квадратуре круга (приближенные) и о построении многоугольников, чья площадь равна сумме или разности площадей двух других многоугольников. Для верного выполнения ритуалов тщательное соблюдение форм и размеров алтарей было столь же важно, как и безошибочное произношение мантр. Позднее Апастамба написал шульба-сутры на те же темы, что и Бодхайяна, но более подробные. Катьяяна создал шульба-сутры, немного дополнявшие предыдущие. Оба эти автора писали в более древнем стиле по сравнению с тем, что описал грамматик Панини в IV веке до н. э.