Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике - Виолант-и-Хольц Альберт - Страница 16

1 + 2 = 3 является простым, следовательно,

(1 + 2)·2 = 3·2 = 6 — совершенное число.

1 + 2 + 4 = 7 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4)·4 = 7·4 = 28 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 = 13 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Далее

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 является простым, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16)·16 = 31·16 = 496 — совершенное число.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 не является простым, поэтому мы пропускаем его.

Наконец, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 — простое, следовательно,

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64)·64 = 127·64 = 8128 — совершенное число.

С помощью этой формулы действительно можно найти первые четыре совершенных числа. Существует и другая, более простая формула для нахождения совершенных чисел. Нетрудно видеть, что если мы складываем степени двойки, начиная с нулевой и не пропуская ни одной, то результатом будет следующая степень двойки минус один, иными словами,

1 + 2 = 3 = 4–1 = 22 — 1;

1 + 2 + 4 = 7 = 8–1 = 23 — 1;

1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 — 1 = 24  — 1.

И так далее. Таким образом, мы можем преобразовать формулу Евклида и записать ее в современной математической нотации:

6 = (22 — 1)·2

28 = (23 — 1)·22

496 = (25 — 1)·24

8128 = (27 — 1)·26.

И всякий раз, когда 2n — 1 простое число, (2n — 1)·2n-1 будет совершенным числом.

Предположения о совершенных числах

Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 3, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (211 — 1)·210, но это не так, потому что 211 — 1 = 2047 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу.

Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (213 — 1)· 212  = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.

Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (217 — 1)·216 = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.

Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10300. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?

Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.

Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), цель которого — поиск простых чисел Мерсенна. Участники проекта загружают на свои компьютеры программу, написанную Джорджем Вольтманом.

Результат коллективных усилий был объявлен 23 августа 2008 года — было найдено самое большое на тот момент простое число Мерсенна, 243112609  — 1. Ему соответствует самое большое из известных совершенных чисел, 243112608·(243112609 — 1), содержащее 25956376 цифр! 12 июня 2009 года было найдено еще одно простое число Мерсенна, на этот раз несколько меньшее: 242643801 — 1. Ему соответствовало сорок шестое совершенное число, равное 242643800·(242643801 — 1), состоящее из 25674128 цифр! И хотя они встречаются все реже, и каждое следующее намного больше предыдущего, никто не знает, действительно ли их на самом деле бесконечное множество. Участники проекта GIMPS продолжают поиски.

* * *

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *