Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика - Дуран Антонио - Страница 25

Заметьте, что знаменатели этих дробей — квадраты натуральных чисел, а многоточие означает, что число слагаемых бесконечно велико. Математики называют сумму бесконечного числа слагаемых рядом. Сумма ряда — это число, к которому мы приближаемся по мере увеличения числа слагаемых так, что разность между этим числом и суммой слагаемых уменьшается с увеличением их количества.

Представленный выше бесконечный ряд содержит некоторый контекст, о котором будет полезно рассказать.

История этого ряда такова. В марте 1672 года юный Лейбниц, которому было двадцать с небольшим, прибыл в Париж. Он хотел улучшить свое математическое образование и углубить знания, которые на тот момент были весьма скудными. Спустя несколько месяцев Лейбниц придумал хитроумный метод вычисления сумм бесконечных рядов. Его метод заключался в записи слагаемых в виде разности с последовательным сокращением членов. Ввиду врожденного оптимизма и недостатка математических знаний Лейбниц посчитал, что открытый им способ позволяет найти сумму произвольного ряда. Не будем забывать, что, по мнению Лейбница, мы жили в лучшем из миров, причем он произнес эти слова вскоре после окончания Тридцатилетней войны.

Слева — портрет Лейбница работы Иоганна Фридриха Вентцеля, около 1700 года. Справа — портрет Гюйгенса, выполненный Каспаром Нечером в 1671 году.

Оптимизм Лейбница по отношению к его методу вычисления сумм рядов только усилился, когда он узнал об открытии Христиана Гюйгенса, одного из авторитетнейших ученых. Гюйгенс родился в Голландии и к описываемому моменту уже несколько лет работал в Парижской академии наук. Чтобы проверить метод Лейбница, Гюйгенс предложил ему найти сумму ряда чисел, обратных треугольным. Треугольные числа имеют вид n·(n + 1)/2. Своим названием они обязаны пифагорейцам и их геометрическому толкованию чисел: треугольное число — это число кружков, которые можно расставить в форме равностороннего треугольника. Таким образом, Лейбницу требовалось вычислить сумму ряда: 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/13 + 1/21 + 1/28 + …

По случайному совпадению этот ряд — один из немногих, для которых способ, открытый Лейбницем, позволяет найти верное значение суммы (см. врезку):

1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/13 + 1/21 + 1/28 + … = 2.

В 1673 году Лейбниц посетил Лондон, где запомнился как наивный оптимист и дилетант. С математической точки зрения его поведение не раз сослужило ему плохую службу — англичане припомнили некоторые эпизоды сорок лет спустя, в разгар дискуссии с Ньютоном об авторстве анализа бесконечно малых.

По возвращении в Париж Лейбниц получил письмо от Джона Коллинза, который предложил ему найти сумму чисел, обратных квадратам натуральных чисел:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 + …

Коллинза нельзя было назвать великим математиком, он был скорее посредником между британскими математиками и учеными континента. Он не обладал достаточными способностями, чтобы понять истинную сложность задачи, поэтому весьма вероятно, что это предложение было выдвинуто более авторитетными математиками, к примеру Джеймсом Грегори или самим Исааком Ньютоном. Как бы то ни было, тот, кто со злым умыслом предложил Лейбницу эту задачу, мог сказать ему, что вычислить искомую сумму вряд ли будет слишком сложно, так как искомые слагаемые были почти равны членам ряда, сумму которого Лейбницу удалось найти: в одном случае слагаемые имели вид 2/(n·(n + 1)), в другом — 1/(n·n).

* * *

* * *

Однако найти сумму ряда не удалось ни Лейбницу, ни его ученикам, братьям Иоганну и Якобу Бернулли. Не сохранилось документальных свидетельств того, что этой задачей занимались Грегори или Ньютон, однако это не означает, что они обошли ее своим вниманием — возможно, их, как и других математиков, постигла неудача.

Прошло почти полвека, прежде чем Леонарду Эйлеру удалось найти сумму этого ряда. Идея, которую использовал Эйлер для сложения чисел, обратных квадратам натуральных, очень проста. Отправная точка его рассуждений такова: рассмотрим произведение вида (1 – 2z2)·(1 – 5z2)·(1 – 6z2), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(1 – 2z2)·(1 – 5z2)·(1 – 6z2) = 1 - 13z2 + 52z4 - 60z6.

* * *

* * *

Нетрудно видеть, что число, которое умножается на z2 в полученном выражении, равно сумме чисел, на которые умножается z2 в левой части равенства. Также нетрудно показать, что это соотношение верно для любого числа сомножителей в этом произведении. Эйлер понял: все, что верно для конечных произведений и сумм, верно и для бесконечных. Иными словами, если мы запишем:

(1 - az2)·(1 - bz2)·(1 - cz2)·… = 1 - Az2 + Bz4 - Cz6 +…,

то A = а + Ь + с + …

Далее Эйлер ввел в игру функцию синуса. Синус и косинус — две основные тригонометрические функции. Они определяются очень просто. Изобразим угол х на координатной плоскости следующим образом: одной из сторон угла будет горизонтальная ось, вторая сторона угла будет иметь длину, равную 1. Синус определяется как длина проекции этой стороны угла на вертикальную ось, косинус — как длина проекции этой стороны на горизонтальную ось, что показано на следующем рисунке.