Основания логики и метафизики - Чичерин Борис Николаевич - Страница 42

§ 5. Это сочетание состоит в том, что всякое количество есть единое и многое вместе – величина. Величина есть количество определённое, или определённое единство множества.

§ 6. Определение устанавливается отношением к другим. Величина есть определённая величина вследствие того, что она больше или меньше других.

§ 7. По свойству количества, увеличение и уменьшение идут в бесконечность; а так как всякое увеличение и уменьшение дают новую величину, то и величин может быть бесконечное множество.

§ 8. Всякое прибавление даёт большую величину, а всякое убавление – меньшую. Посередине стоит равенство, которое есть отношение количества к себе, или тождество с собой.

§ 9. Образуя середину между большим и меньшим, равенство даёт одно определённое отношение; напротив, отношений большего к меньшему или меньшего к большему, в силу § 7, может быть бесконечное множество.

§ 10. Но и отношения могут быть равны или неравны между собой (см. «Логика», ч. 3, гл. 4, § 9). Отсюда разделение равенства на равенство числительное и равенство пропорциональное. Таким образом, количественные отношения образуют две перекрещивающиеся противоположности.

§ 11. Равенством пропорциональным, которое выражается формулой: a/b=c/d определяются отношения разных величин; равенство же числительное, выражаемое формулой: А=а+а+а… или А=а+b+с… определяет отношения различных элементов одной и той же величины.

§ 12. Эти элементы суть единство и множество. Как единое, величина есть целое: как многое, она состоит из частей.

§ 13. При равенстве целого и частей, отношение их может быть двоякое: в форме соединения или в форме разделения. Части могут образовать целое или совпадая, или исключая друг друга. Первое даёт величину интенсивную, второе даёт величину экстенсивную.

Примеч. Переход от одной формы в другую даёт напряжение, которое есть стремление совпадающих частей исключить друг друга. Это – форма, присущая всякой силе.

§ 14. Но и в экстенсивной величине, части, образуя целое, не отделяются друг от друга, а сливаются вместе. Величина как таковая, независимо от других определений, есть количество непрерывное, то есть такое количество, в котором части непосредственно переходят одна в другую.

§ 15. От других же величин каждая величина отделяется вытекающим из определения пределом, или границей.

§ 10. Граница каждой величины есть вместе граница другой. Следовательно, и через границу величина непосредственно, или непрерывно переходит в другую. Это выражается в том, что прибавление и убавление идут в непрерывной постепенности.

§ 17. Таким образом, граница величины является изменчивой. Величина есть то, что может увеличиваться и уменьшаться. В этом состоит существенный её признак.

Примеч. Таково определение величины в математике.

§ 18. Увеличение и уменьшение, будучи выражением изменяющейся границы, логически идут в обе стороны в бесконечность. Пределы их, или крайние границы, суть всё и ничего; первое есть предел объединения, второе – предел разделения.

§ 19. Таким образом, в понятии величины заключаются все категории чистого количества: единое, многое, всё и ничего.

Примеч. Экстенсивное количество как необходимая форма всякого внешнего сосуществования, есть пространство, которое поэтому необходимо представляется непрерывным и безграничным. Представляемое нами пространство совпадает с этим чисто количественным понятием, из чего явствует умозрительное его происхождение. Отсюда следует, что все рассуждения о том, что наше пространство составляет будто бы нечто специальное, зависящее от особенного устройства наших внешних чувств, основано только на неясности мысли.

§ 20. Двоякий предел величины, высший и низший, даёт новую противоположность количества: оно является как безграничное и граница.

Глава 3. Безграничное и граница

§ 1. Безграничное есть количество, отрицающее границу, вследствие того, что оно выходит из всякой границы. Следовательно, как уже объяснено выше («Логика», ч. 1, кн. 3, гл. 2, § 27); это не отрицательное понятие, которое даёт лишь неопределенность, а положительное: границу отрицает количество, из неё выходящее и полагающее себя вне её.

Примеч. Вместе с тем это – понятие, а не представление, ибо безграничное не представимо.

§ 2. Но будучи положительным понятием, безграничное заключает в себе вместе с тем понятие о процессе отрицания, идеальным пределом которого оно является. Отрицает границу величина, из неё выходящая, то есть увеличивающаяся. Но увеличенная величина есть опять величина, следовательно, имеет границу. А так как последняя опять отрицается, то этот процесс идёт в бесконечность, никогда не достигая предела.

§ 3. В этом процессе выражается сама сущность количества: как чисто умозрительное определение, оно идёт за пределы всякой ограниченной величины.

§ 4. Со своей стороны, граница есть необходимый, но вечно изменяющийся элемент количества: она отрицается, но опять полагается и опять отрицается.

Примеч. Чистое выражение этого процесса есть время, которое есть форма всякого изменения.

§ 5. В противоположность безграничному, которое есть величина, отрицающая границу, граница отрицает величину, полагая ей предел. Но будучи границей двух величин, она представляет сочетание обеих, следовательно, она сама есть количество, и притом определённое, то есть величина.

§ 6. Эти две заключающиеся в границе величины, в свою очередь, имеют свою границу, их отрицающую; а так как последняя, по существу своему, есть опять сочетание обеих, то и здесь повторяется процесс в бесконечность как процесс делимости.

§ 7. И этот процесс имеет свой предел, который никогда не достигается, но к которому он приближается в бесконечности. Этот предел есть нуль – постоянная граница всякой величины.

§ 8. Этот постоянный предел есть внутренний предел границы при бесконечной её делимости. В нём граница получает новое определение – отрицательное. Если граница, с одной стороны, представляет сочетание граничащих величин и переход их одна в другую, то с другой стороны, она представляет и их разделение.

§ 9. Отсюда новое определение количества как раздельного. В противоположность величине, которая есть непрерывное количество, способное увеличиваться и уменьшаться, раздельное количество есть число, постоянное сочетание единиц.

Глава 4. Число

§ 1. Элементы числа опять суть единство и множество, но здесь они определяются, как единица и счёт.

§ 2. Единица есть величина, взятая как единое, исключающее другое. Но и другое есть также единица, исключающая другие. А так как количество, по существу своему, безгранично, то раздельное количество полагается как состоящее из бесконечного множества единиц, равных друг другу, но исключающих одна другую.

§ 3. Это положение множества есть счет, то есть последовательное логическое шествие от единицы к единице с присоединением в уме одной к другой.

§ 4. Результат этого умственного процесса есть число, то есть определённое сочетание единиц.

§ 5. Состоя из единиц, число раздельно внутри себя, то есть представляет известный счёт единиц и этим счётом отличается от других. Следовательно, число есть величина, раздельная внутри себя и отдельная от других.

§ 6. Но счёт не ограничивается отдельным числом. Идя от единицы к единице, можно к данному числу единиц прибавлять новые единицы и образовать новые числа. Прибавляя таким образом единицу к единице, получаем ряд чисел, отличных друг от друга.

§ 7. Так как, по существу количества, единиц бесчисленное множество, то и ряд чисел, начиная с единицы, идёт в бесконечность.

§ 8. Эти умственные сочетания могут, в свою очередь, сочетаться и разделяться. Отсюда два основных действия, которые разум совершает с числами – сложение и вычитание.