Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
В погоне за красотой - Смилга Вольдемар Петрович - Страница 39
Посмотрим на чертеж. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую I. Евклидова параллельная — прямая ЕП — естественно, перпендикулярна этому перпендикуляру.
Пунктиром обозначена непересекающаяся с I прямая Лобачевского (ПЛ).
Из соображений симметрии (перегнуть чертеж вдоль перпендикуляра AB!) ясно, что будет существовать другая, точно такая же прямая. Она также обозначена пунктиром. Далее ясно, что любая из бесконечного числа прямых, проведенных через точку А внутри угла между прямыми ЕП и ПЛ, тоже не пересекает прямую I. Итак: «Через данную точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную».
Но, естественно, можно провести и бесконечное число прямых, встречающих данную. Их можно провести в любую сколь угодно удаленную от основания точку прямой. Действительно, возьмем любую точку В′ и соединим ее с A прямой. Это всегда можно сделать благодаря известной аксиоме.
Вот и получена прямая, проходящая через А и В′.
Но ввиду непрерывности пучка прямых должна быть граничная прямая, разделяющая оба класса.
Это либо последняя прямая («пересекающая») «встречающая» прямую BB″, либо первая «невстречающая». Легко видеть, что последней «пересекающей» быть не может. Действительно, предположим, что она существует. Пусть, например, это прямая AB′ на нашем чертеже. Но тогда, взяв точку В″ за точкой В′ и соединив ее с точкой А, получим новую прямую, лежащую за В′ и встречающую (пересекающую) прямую I.
Следовательно, граничная прямая — первая не встречающая прямую I.
Естественно, таких прямых две — для каждого направления своя. Внутри угла, образованного этими прямыми, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих прямую I, в том числе среди них будет и параллель Евклида.
Вот эти крайние невстречающие прямые Лобачевский назвал параллельными.
Как видите, они не имеют никакого отношения к параллельной в смысле Евклида.
И о них с некоторой натяжкой можно сказать, что они как бы пересекают данную прямую BB″ в бесконечно удаленных точках.
Правда, в этой фразе совершенно неясно, что такое «бесконечно удаленная точка», так что лучше ее вообще не произносить.
В терминах Лобачевского все прямые внутри угла «расходятся» с прямой I.
Итак, по отношению к данной прямой есть три типа прямых, которые можно провести через любую точку.
1. Сходящиеся (пересекающие); число их бесконечно.
2. Параллельные. Их две. Про каждую еще говорят: параллельная II параллельна прямой I в сторону BB′; параллельная III параллельна I в сторону B′B. Смысл этих слов понятен из чертежа.
3. Расходящиеся прямые. Это все бесконечное скопище линий внутри пучка. В частности, и «евклидова параллель».
Пока были термины.
Посмотрим теперь теоремы.
Для «параллельных» Лобачевский доказал, что они неограниченно приближаются к данной прямой (никогда не пересекая ее) и неограниченно удаляются в другую сторону.
Этот результат еще не столь странен.
Но вот следующий уже поражает.
Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, который и есть кратчайшее расстояние между ними. По обе стороны от перпендикуляра они неограниченно удаляются. Естественно, это справедливо и для частного случая «евклидовых параллелей».
Таким образом, перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой II к прямой I, во-первых, больше взаимного перпендикуляра AB, а во-вторых, с прямой II не составляет уже прямой угол.
Это действительно странно. Но доказывается безукоризненно.
Соответственно геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, оказывается кривой линией.
Все это самые первые шаги.
Далее Лобачевский вводит новое и очень важное понятие угла параллельности.
Это острый угол между прямой, параллельной I и проведенной через точку A, и перпендикуляром AB, опущенным из этой точки на прямую I. То есть угол параллельности — CAB. По Евклиду, он, естественно, всегда равен π/2.
Сразу можно увидеть, что этот угол зависит от расстояния от точки A до прямой I, причем уменьшается с ростом расстояния.
Действительно, возьмем на продолжении перпендикуляра AB точку A′ и проведем из этой точки «евклидову параллель» к прямой AC. Она пересечет перпендикуляр AB под тем же углом, что и прямая AC.
<DA′B = <CAB.
Но мы знаем, что из точки A′ можно еще провести прямую A′C′, параллельную AC в смысле Лобачевского.
И угол C′A′B, очевидно, меньше, чем угол DA′B.
Очевидно, что если прямая A′C′ не пересекает AC, то тем более она не пересечет прямую I. Она либо расходится с ней, либо параллельна. (Начиная с этого момента, я перестаю оговаривать: «в смысле определения Лобачевского». Всюду дальше в этой главе мы будем придерживаться его геометрии и его определений.)
На самом деле Лобачевский доказал теорему:
«Если две прямые параллельны третьей в одну сторону, то они параллельны между собой в ту же сторону». Так что угол CA′B есть угол параллельности к прямой I в точке A′.
Угол параллельности есть функция расстояния до прямой. Лобачевский обозначил эту функцию Π(x); x — здесь расстояние — то есть отрезок AB.
Мы убедились уже, что эта функция убывает с ростом x. Лобачевский исследовал, как она ведет себя с уменьшением расстояния x, и показал, что угол параллельности Π(x) неограниченно стремится при этом к прямому углу. Учено это выглядит так:
. Но если вспомнить, что прямой угол параллельности соответствует геометрии Евклида, то ясно, что на малых расстояниях геометрия Лобачевского практически неотличима от геометрии Евклида.Это-то ясно. Неясно покуда, что означают слова «малые расстояния».
Слова «малый» или «большой» приобретают смысл, только если указано по сравнению с чем. Без этого они лишены всякого содержания. Очевидно, должна существовать какая-то длина — некий эталон, с которым можно сравнивать все остальное.
Каким же образом этот эталон появляется? И здесь снова уместно вспомнить Лежандра. В своих исследованиях он также обнаружил, что угол параллельности зависит от расстояния. Собственно, для этого достаточно (как мы уже упоминали) чуть-чуть проанализировать его доказательство относительно суммы углов треугольника. И то, что появляется такая зависимость, казалось Лежандру столь нелепым, что одно время он и объявлял это желанным абсурдом, доказывающим пятый постулат. Рассуждал Лежандр очень остроумно, скорее как физик, чем как математик.
По сути, он использовал очень сильный метод качественного анализа физических задач — метод размеренности. Чуть модернизованно схема его рассуждений выглядит так.
Мы видим, что угол параллельности есть функция единственного отрезка — расстояния до прямой. Никакие другие линейные размеры в задачу не входят. Запишем: φ = Π(x).
- Предыдущая
- 39/57
- Следующая