Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике - Страница 24
Шарль Эрмит на фотографии 1887 года. Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.
Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, которые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.
Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконечно много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество вещественных чисел не является счётным. С другой стороны, множество алгебраических чисел является счётным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа, которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество этих чисел не является счётным.
Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцендентным числам.
Трансфинитные числа
Арифметика трансфинитных чисел отличается от арифметики конечных чисел.
Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {а, b, с, d}, можно образовать ряд его подмножеств
{а}, {b}, {с}, {d}, {а, b), {а, с}, {a, d), {b, с}, {b, d), {с, d), {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d},
которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них, подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозначаемое символом Ø и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (исходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышеприведённому списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим полный перечень всех подмножеств А:
{Ø}, {а}, {b}, {с}, {d}, {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {c, d}, {с, d}, {а, b, с}, {а, b, d}, {а, с, d}, {b, с, d}, {а, b, с, d}, —
итого 16 подмножеств.
Заметим, что 24=16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени, равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего n элементов, число его подмножеств будет равно 2n.
Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством степенью A и обозначается
. Кантор доказал, что для любого множества его множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше элементов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число больше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |А|.Изложенный выше результат можно записать так:
Учёному принадлежит доказательство нескольких теорем, но когда речь идёт о теореме Кантора, обычно имеют в виду именно этот результат, который можно записать в виде
|А|< 2|A|
Теорема Кантора позволяет упорядочивать бесконечности. Кантор считал, что «самая маленькая» бесконечность соответствует кардинальному числу множества
— множества натуральных чисел. Это кардинальное число он обозначил .Таким образом, имеем
По теореме Кантора получим:
Последовательность кардинальных чисел, фигурирующую в этом неравенстве, Кантор назвал числами алеф, присвоив каждому из них порядковый номер: алеф-ноль, алеф-один и т. д. Они записываются буквой еврейского алфавита алеф с индексом:
Это так называемые трансфинитные числа.
В упорядоченной последовательности трансфинитных чисел содержится любое число, которое может существовать, в том числе такое, которое мы даже не можем себе представить. Если до Кантора считалось, что ничто не может быть больше бесконечности, то благодаря его открытиям мы можем с уверенностью утверждать, что всегда существует другая бесконечность, которая будет больше данной. Кантор превзошёл самого Создателя: сколь большое число ни создал бы Бог, всегда будет существовать другое, большее число. И этот научный результат противоречил религиозным взглядам самого Кантора.
ПОЧТИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
За рамки нашей конечной природы выходят не только бесконечные или трансфинитные числа.
Например, число
которое может быть результатом неких математических расчётов, невероятно велико. Процессор компьютера, выполнив необходимые инструкции, может получить это число за разумное количество шагов. Это возможно потому, что и язык математики, и языки программирования предоставляют все необходимые для этих вычислений инструменты. Но если бы нам потребовалось записать все цифры этого числа на бумаге, мы не смогли бы этого сделать: для такой записи требуется лист бумаги, число частиц в котором превышает число частиц во всей Вселенной. Кроме того, для записи этого числа потребовалось бы время, значительно превышающее возраст Вселенной.
Континуум-гипотеза
Пока что мы говорили о кардинальности применительно к множеству. Мы увидели, что понятие кардинальности обозначает число элементов множества, а также что каждому элементу конечных множеств можно последовательно присвоить натуральное число. С другой стороны, когда речь идёт о множествах с бесконечным числом элементов, пронумеровать их составляющие можно с помощью взаимно однозначного соответствия, при котором каждому элементу множества ставится в соответствие натуральное число. Множества, для которых возможно установить такое соответствие, называются счётными. Однако мы также увидели, что существуют множества, которые не являются счётными, и чтобы как-то обозначить количество их элементов, нам пришлось обратиться к понятию кардинальности. Таким образом, кардинальность множества — это не совсем число, а скорее понятие, связанное с числовой величиной. По сути, на этом понятии основан удивительный трюк, позволяющий узнать, насколько велико множество. Заключается он в сравнении множеств по определённым правилам, которые позволяют однозначно сказать, когда множества одинаково велики, а когда — нет. При этом не имеет значения, о конечных или бесконечных множествах идёт речь.
СВОБОДА МАТЕМАТИКИ
Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбылась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не ставит палки в колёса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам.
Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь велики, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рассматривается последовательность множеств, включённых одно в другое, затем анализируются соответствующие множества их частей.
- Предыдущая
- 24/29
- Следующая