Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Открытие без границ. Бесконечность в математике - Грасиан Энрике - Страница 21
Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.
Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу:
«Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».
Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идёт о фундаментальном понятии.
СЧЁТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ
Интересно отметить, что человек научился считать раньше, чем появились системы счисления, поэтому, вопреки распространённой точке зрения, можно утверждать, что понятие биективного отображения появилось одновременно с понятием числа или даже раньше. Например, пастуху, который хотел сосчитать число овец в стаде, требовалась сумка с камнями. Когда очередная овца выходила из загона, пастух вынимал из сумки один камень. Вечером, пригнав овец обратно в загон, пастух устанавливал взаимно однозначное соответствие между овцами и камнями. (От латинского слова calculus — «камень» происходит, например, современное слово «калькулятор».)
Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчёта элементов множества. При счёте мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берём за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчёт, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определённые правила. Например, если даны множество заглавных букв {A, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, c, d, e}, то между ними можно установить следующее отношение:
Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.
На рисунке ниже мы также видим соответствия:
Однако они не удовлетворяют этому правилу.
Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчёта, а также ввёл понятие кардинальности множества.
Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.
Но если одно множество состоит из четырёх элементов, а другое — из трёх, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остаётся без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.
Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число элементов.
Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:
|A| − |N| = 6.
Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать чёткое определение бесконечному множеству.
Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.
Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.
На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычайной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным подмножеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например {a, b, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами собственных подмножеств А будут:
{а} {а, b} {а, b, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.
В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соответствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем само множество.
Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим
— множество всех натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми чётными числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу n нужно поставить в соответствие это же число, умноженное на 2.n → 2n
В соответствии с этим
1 → 2
2 → 4
3 → 6
…
Иными словами, каждому натуральному числу соответствует чётное число и, напротив, каждому чётному числу соответствует натуральное число. Это означает, что кардинальность этих множеств одинакова, и утверждение «существует столько же натуральных чисел, сколько чётных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоречит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множества звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно установить взаимно однозначное соответствие.
В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), — это уже не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является бесконечным.
Путём аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных чисел
и множество целых чисел имеют одинаковую кардинальность. Чтобы подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между ними, сопоставив всем положительным числам чётные, а всем отрицательным — нечётные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натуральных.Счётные множества
Кантор также сформулировал очень важное понятие счётного множества. По определению, множество А называется счётным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством
. В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.- Предыдущая
- 21/29
- Следующая