Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной? - Ибаньес Рауль - Страница 23

Эти методы уже были известны и широко использовались в начале XX в. Описывая различные методы визуализации, мы будем опираться на интуицию и, как и в других главах книги, использовать многомерные аналогии.

Гиперкуб, также известный как тессеракт (термин, введенный Чарльзом Хинтоном в книге «Новая эра мысли»), является обобщением куба в четвертом измерении.

Как и в первой главе, предположим, что точка, имеющая нулевую размерность, будет также 0-мерным кубом, то есть кубом в нулевом измерении. Если точка находится на прямой линии (в одномерном пространстве) и перемещается на определенное расстояние по этой прямой, то мы получим отрезок (который будет одномерным кубом). Если точка находилась в начале оси координат и переместилась на единицу вправо, то полученный отрезок будет отрезком [0, 1], другими словами, он состоит из всех точек между 0 и 1 (см. рисунок на странице 106). Если этот отрезок находится на оси X координатной плоскости, то, перемещая его на одну единицу по оси Y, перпендикулярной оси X, мы получим квадрат (двумерный куб) со сторонами 1.

Если мы переместим единичный квадрат на одну единицу в перпендикулярном направлении к плоскости ХУ по оси Z, то мы получим трехмерный куб. Перемещая трехмерный куб в направлении, перпендикулярном к трем остальным, по новой оси, которую мы будем называть W, мы, наконец, получим гиперкуб, или четырехмерный куб.

В нашем пространстве мы не можем визуализировать гиперкуб, поэтому мы будем представлять куб, перемещающийся в перпендикулярном направлении к трехмерному пространству, как показано на с. 106.

* * *

Серия фотоснимков Мейбриджа, показывающих движение лошади. В один из моментов копыта лошади не касаются земли.

* * *

Отрезок прямой, квадрат, куб и гиперкуб со стороной 1 в соответствующих пространствах.

Интуитивно понятно, что каждый n-мерный куб, то есть куб в n-м измерении, получается путем перемещения (n — 1) — мерного куба из измерения на единицу меньше в направлении, перпендикулярном к предыдущим. Однако в математических терминах n-мерный куб может быть задан всеми точками в n-мерном пространстве, координаты которых больше 0 и меньше 1, то есть:

Каждый n-мерный куб состоит из элементов меньших размерностей — k-мерных кубов, где 0 <= k <= n. Например, гиперкуб состоит из следующих элементов: точек (вершин или углов), отрезков (ребер), граней (квадратных поверхностей), кубов (кубических граней) и самого гиперкуба. Для того чтобы попытаться понять, что такое гиперкуб, мы начнем с анализа элементов, из которых он состоит, используя следующие рассуждения и аналогии (с помощью рисунка).

Рассмотрим сначала элементы одномерного куба, то есть отрезка прямой линии.

Отрезок состоит из двух вершин и, конечно, самого себя. Теперь, переместив отрезок в перпендикулярном направлении и получив квадрат, мы имеем две начальные вершины и две конечные, следовательно, число вершин при перемещении удвоилось. Таким образом, квадрат имеет 4 вершины, куб — 8, а гиперкуб — 16. Теперь посчитаем ребра квадрата. У нас был начальный отрезок, затем конечный плюс два отрезка, образованные при перемещении каждой вершины, поэтому квадрат имеет 1 + 1 + 2 = 4 ребра. Аналогично куб будет иметь 4 + 4 + 4 = 12 ребер, а гиперкуб — 12 + 12 + 8 = 32 ребра.

Далее мы посчитаем грани. При перемещении квадрата в перпендикулярном направлении у нас получится начальная и конечная грани, плюс каждое ребро при движении образует новую грань, поэтому куб имеет 1 + 1 + 4 = 6 квадратных граней.

Гиперкуб будет иметь 6 + 6 + 12 = 24 квадратные грани. Наконец, при перемещении куба получаются начальный и конечный кубы, плюс каждая грань куба при движении образует новый куб, так что гиперкуб имеет 1 + 1 + 6 = 8 кубических граней. Занесем полученные данные в таблицу.

Гиперсфера является эквивалентом сферы в четвертом измерении. Но чтобы дать определение гиперсферы, мы должны понять, что такое сфера. Сфера образована всеми точками, находящимися на одном и том же расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). В терминах аналитической геометрии, если О = (0, 0, 0) — координаты центра, а r — радиус, это можно записать следующей формулой:

Кроме того, сфера является двумерной поверхностью.

* * *

* * *

В общем случае для любого (n + 1) — мерного пространства соответствующая n-мерная сфера образуется точками (n + 1) — мерного пространства, которые находятся на одинаковом расстоянии от ее центра. Мы имеем следующую формулу: