Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Teopeмa Гёделя - Нагель Эрнст - Страница 9
В качестве такого свойства годится, например, свойство «быть тавтологией». Вы знаете, что так обычно именуют утверждения, дважды повторяющие внешне различным образом одну и ту же мысль и не несущие поэтому фактически никакой информации. Например, «раз Джон есть отец Чарлза, то Чарлз — сын Джона». В обобщение этого свойства «неинформативности» в логике тавтологиями принято называть утверждения, которые не могут не быть истинными. Примером может служить высказывание: «дождь идет или дождь не идет». Говорят также, что тавтологии — «истины во всех возможных мирах», или, еще по-другому, что это необходимо (или логически) истинные высказывания.
Но для того чтобы наше доказательство непротиворечивости было не относительным, а абсолютным, нам придется дать такое определение понятия тавтологии, которое не зависело бы непосредственно от понятия истины (в свою очередь, подразумевающего некоторую интерпретацию), а было бы дано в чисто формальных, структурных терминах.
Напомним, что формула нашего исчисления — либо просто одна из букв, используемых в нем в качестве пропозициональных переменных (назовем такие формулы «элементарными»), либо же составлена из таких букв с помощью пропозициональных связок и скобок. Условимся отнести каждую элементарную формулу в один из двух непересекающихся классов, в сумме дающих все множество формул исчисления — K1 или K2. Формулы, не являющиеся элементарными, относятся к тому или иному из этих классов в силу следующих соглашений:
1) формула, имеющая вид S1 ˅ S2, принадлежит классу K2, если как S1, так и S2 принадлежат K2; в противном случае она принадлежит K1;
2) формула, имеющая вид S1 ﬤ S2, принадлежит классу K2, если S1 принадлежит K1, a S2 принадлежит K2; в противном случае она принадлежит K1;
3) формула, имеющая вид S1 · S2, принадлежит классу K1, если как S1, так и S2 принадлежат K1; в противном случае она принадлежит K2;
4) формула, имеющая вид ~ S, принадлежит классу K2, если S принадлежит K1; в противном случае она принадлежит K1.
Теперь мы определяем свойство «быть тавтологией»: формула есть тавтология тогда и только тогда, когда она принадлежит классу K1 независимо от того, какому из классов K1 и K2 принадлежит любая из входящих в нее элементарных формул (т. е. переменных). Ясно, что это определение не использует никакой модели или интерпретации нашей системы. Мы можем установить, является ли какая-либо данная формула тавтологией, просто исследуя ее строение с точки зрения выполнения приведенных выше четырех условий.
Такая проверка приводит к выводу, что каждая из четырех аксиом является тавтологией. Процедура такой проверки сводится к составлению таблицы, в которой учитываются все возможные варианты соотнесения элементарных компонент данной аксиомы к любому из двух классов, K1 и K2. Просматривая последовательно строки такой таблицы, мы можем определить для каждого из возможных распределений «значений» (т. е. принадлежности классам K1 и K2) элементарных формул (т. е. попросту переменных), какому из классов принадлежит каждая неэлементарная «подформула» данной формулы и вся рассматриваемая формула в целом. Возьмем, например, первую аксиому. Таблица для нее состоит из трех столбцов: первый из них соответствует единственной ее элементарной компоненте «p», второй — неэлементарной подформуле «(p ˅ p)», а третий — всей формуле «(p ˅ p) ﬤ p». В каждом из столбцов указаны классы, которым принадлежат соответствующие формулы при данных распределениях значений переменных по этим классам. Вот как выглядит таблица для первой аксиомы:
p p˅p (p˅p)ﬤp
K1 K1 K1
K2 K2 K1
В первом столбце таблицы приведены возможные значения единственной элементарной компоненты рассматриваемой аксиомы, во втором — соответствующие значения неэлементарной компоненты аксиомы (согласно условию (1), в третьем — значения самой аксиомы (согласно условию (2)). Из последнего столбца сразу видно, что первая аксиома принадлежит классу K1 всегда, независимо от того, к какому классу отнесена ее элементарная компонента. Значит, первая аксиома является тавтологией.
А вот такая же таблица для второй аксиомы:
p q p˅q рﬤ(р˅q)
K1 K1 K1 K1
K1 K2 K1 K1
K2 K1 K1 K1
K2 K2 K2 K1
В первых двух столбцах таблицы указаны все возможные распределения двух элементарных компонент аксиомы по двум классам, в третьем — соответствующие значения ее неэлементарной компоненты (согласно условию (1)), в четвертом — значения самой аксиомы. И здесь из рассмотрения последнего столбца таблицы сразу видно, что аксиома является тавтологией. Точно так же устанавливается тавтологичность остальных двух аксиом.
Докажем теперь, что свойство «быть тавтологией» наследственно относительно применений правила modus ponens. (Доказательство его наследственности относительно правила подстановки предоставляется читателю.) Пусть формулы S1 и S1 ﬤ S2 — тавтологии; нам надо доказать, что тогда и формула S2 есть тавтология. Допустим, что S2 не является тавтологией. В таком случае для хотя бы одного распределения элементарных компонент этой формулы по классам K1 и K2 она принадлежит классу K2. Но, по предположению, S1 является тавтологией, т. е. принадлежит классу Ki при любых распределениях своих элементарных компонент, в том числе и при том, при котором S2 принадлежит K2[7]. Но тогда при этом распределении формула S1 ﬤ S2 должна (в силу второго условия) принадлежать классу K2, что, однако, противоречит предположению о тавтологичности S1 ﬤ S2. Противоречие показывает, что S2 должна быть тавтологией. Таким образом, тавтологичность формулы есть свойство наследственное, т. е. передаваемое от посылок правила modus ponens к его заключению.
Теперь нам остается указать пример формулы нашего исчисления, не являющейся тавтологией. Такова, например, формула «p ˅ q», принадлежащая классу K2, если обе ее компоненты («p» и «q») принадлежат этому классу[8]. (В переводе на содержательный язык: высказывание «„p“ или q“» ложно, если ложны оба входящие в его состав высказывания «p» и «q».)
Наша цель достигнута. Мы нашли формулу, не являющуюся теоремой нашей системы. Но в случае противоречивости выбранной нами системы аксиом такой формулы в нашем исчислении не нашлось бы. Таким образом, из аксиом исчисления высказываний нельзя вывести никакой формулы одновременно с ее отрицанием. Этим и завершается абсолютное доказательство непротиворечивости исчисления высказываний.
- Предыдущая
- 9/19
- Следующая