Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Teopeмa Гёделя - Нагель Эрнст - Страница 16
Гёдель далее показал, что некоторый частный случай этой формулы является формально недоказуемым. Чтобы получить формулу, мы будем исходить из следующей формулы:
∀ x ~ Dem(x, sub(y, 13, y)) (1)
Эта формула, принадлежащая формальному арифметическому исчислению, представляет некоторое метаматематическое высказывание. Какое же именно? Читатель должен помнить, что выражение «sub(y, 13, y)» обозначает некоторое число, которое есть гёделевский номер формулы, получаемой из формулы, имеющей гёделевский номер у, подстановкой вместо переменной, имеющей гёделевский номер 13, (т. е. переменной y) цифры, обозначающей число у. Отсюда видно, что формула (1) представляет метаматематическое высказывание: «формула, имеющая в качестве гёделевского номера число sub(y, 13, y), недоказуема».
Но так как формула (1) принадлежит арифметическому исчислению, она имеет некоторый гёделевский номер, который можно фактически вычислить. Пусть этим номером является число n. Подставим в (1) вместо переменной, имеющей гёделевский номер 13 (т. е. вместо переменной «y»), цифру, обозначающую это число n. В результате подстановки мы получим некоторую формулу, которую назовем (в честь Гёделя) «G»:
∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n)). (G)
Формула G и есть тот частный случай формулы (1), который мы хотели построить. Формула G принадлежит арифметическому исчислению и должна иметь некоторый гёделевский номер. Каков же этот номер? Нетрудно показать, что таким номером задается число sub(n, 13, n). В самом деле, вспомним, что sub(n, 13, n) есть гёделевский номер формулы, получаемой из формулы, имеющей гёделевский номер n, подстановкой вместо переменной «y» (имеющей гёделевский номер 13) цифры, обозначающей число п. Но ведь формула G как раз и получена из формулы, имеющей гёделевский номер n (т. е. из формулы (1)), подстановкой цифры для числа n вместо входящей в формулу переменной у. Таким образом, действительно sub(n, 13, n) есть гёделевский номер формулы G.
Однако формула G — арифметическая формула, которая представляет в арифметическом исчислении математическое высказывание
«формула „∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))“ недоказуема».
Можно, следовательно, сказать, что формула G утверждает свою собственную недоказуемость.
2. Следующий шаг, как уже говорилось, состоит в доказательстве того факта, что формула G является формально недоказуемой. Доказательство очень похоже на рассуждение, приводящее к парадоксу Ришара, но не подвержено тем возражениям, которые вызывает последнее.
Как мы помним, в парадоксе Ришара фигурирует некоторое число n, связанное с определенным математическим высказыванием. В рассуждении же Гёделя число п связывается с определенной арифметической формулой (которая лишь прелставляет метаматематическое высказывание). Таким образом, в теореме Гёделя в отличие от парадокса Ришара идет речь о некотором арифметическом свойстве чисел (задается вопрос, обладает ли число sub(n, 3, n) свойством, выражаемым формулой «∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))»), а не о метаматематическом, благодаря чему и не возникает дискредитирующего парадокса Ришара смешения высказывания на языке арифметики с высказыванием об арифметике.
Ход рассуждения относительно несложен. Задача его сводится к тому, чтобы доказать, что если бы формула G была доказуема, то ее формальное отрицание (т. е. формула «~ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))» также было бы доказуемо, и обратно, если бы отрицание формулы G было доказуемо, то была бы доказуема и сама формула G. Отсюда мы получаем, что формула G доказуема в том и только в том случае, если доказуема формула ~ G.
Это утверждение доказано, строго говоря, не самим Гёделем, а Аж, Б. Россером (1936). Гёдель же получил несколько более слабый результат, позволяющий, впрочем, получить все интересующие нас важные выводы.
Воспроизведем вкратце первую часть рассуждения Гёделя, согласно которой, если G доказуема, то и ~ G доказуема. Пусть G доказуема. Тогда должна существовать последовательность арифметических формул, являющаяся доказательством для G. Пусть гёделевский номер доказательства есть k. В таком случае между этим k и числом sub(n, 13, n), являющимся гёделевским номером G, должно иметь место арифметическое отношение, обозначаемое через «Dem(x, z)», т. е. «Dem(k, sub(n, 13, n)» должна быть истинной арифметической формулой. Можно, однако, показать, что это арифметическое отношение обладает тем свойством, что если оно имеет место для каких- либо двух чисел, то формула, выражающая это обстоятельство, непременно доказуема. Таким образом, формула «Dem(x, sub(n, 13, n))» не только истинна, но и формально доказуема, т. е. является теоремой. Но правила вывода элементарной логики позволяют нам немедленно вывести из этой теоремы формулу «~ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))». Таким образом, мы вывели из доказуемости формулы G доказуемость ее формального отрицания. Значит, если наша формальная система непротиворечива, то G в ней недоказуема.
Чтобы показать, что доказуемость ~ G влечет доказуемость G, требуется аналогичное, но несколько более громоздкое рассуждение, которое мы не будем пытаться здесь воспроизводить.
Как мы уже отмечали, если и некоторая формула, и ее отрицание выводимы из некоторой системы аксиом, то эта система противоречива (несовместна). Поэтому если аксиомы формализованной системы арифметики совместимы, то ни G, ни ее отрицание не могут быть доказуемыми. Иначе говоря, если наши аксиомы непротиворечивы, то G формально неразрешима в том точном смысле, что ни G, ни ~ G не выводимы из арифметических аксиом.
3. Важность предыдущего заключения не сразу бросается в глаза. Что особенного — можно было бы задать вопрос — в том, что некоторая формула, сформулированная на арифметическом языке, оказалась неразрешимой? Но приходится признать, что из этого результата действительно вытекают чрезвычайно важные выводы. Все дело в том, что, хотя формула G и является недоказуемой, можно, как выясняется, чисто метаматематическим рассуждением установить ее истинность. Иными словами, удается показать, что формула G выражает некоторое (довольно-таки громоздко выражаемое, но тем не менее вполне определенное) свойство, с необходимостью принадлежащее всем натуральным числам (аналогично, скажем, свойству, выражаемому гораздо более простой формулой «∀ x ~ (x + 3 = 2)», интерпретируемой обычно как утверждение, что никакое натуральное число, сложенное с числом 3, не дает в сумме 2).
Приведем здесь рассуждение, устанавливающее истинность формулы G. Во-первых, в предположении непротиворечивости арифметики можно доказать, что метаматематическое утверждение
«формула „∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))“ недоказуема»
истинно. Во-вторых, такое утверждение представляется (выражается) в арифметике той самой формулой, которая в нем упоминается. В-третьих, мы вспоминаем, что истинным метаматическим утверждениям при осуществляемом посредством гёделевской нумерации отображении их в арифметику соответствуют истинные же арифметические формулы. (Именно это обстоятельство обусловливает всю плодотворность такого отображения; ситуация здесь совершенно та же, что в аналитической геометрии, где координатное «кодирование» обеспечивает перевод истинных геометрических высказываний в истинные алгебраические высказывания.) Отсюда и вытекает, что формула G, соответствующая истинному метаматематическому высказыванию, сама должна быть истинной. Следует, однако, еще раз подчеркнуть, что истинность арифметического высказывания установлена нами отнюдь не формальным выводом выражающей его формулы из аксиом, а посредством некоторого метаматематического рассуждения.
- Предыдущая
- 16/19
- Следующая