Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Teopeмa Гёделя - Нагель Эрнст - Страница 13
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
4 11 8 11 5 7 13 9
Конечно, нам бы хотелось сопоставить каждой формуле не набор номеров (как пока получилось), а один-единственный определенный номер. Но это очень легко сделать. А именно: сопоставим этой формуле произведение первых восьми простых чисел в порядке их величины, причем каждое из них в степени, показатель которой равен гёделевскому номеру соответствующего элементарного символа:
24 × 311 × 58 × 711 × 115 × 137 × 1713 × 99.
Обозначим это число, скажем, через m. Точно таким же образом мы можем приписать в качестве гёделевского номера единственное вполне определенное натуральное число каждой конечной последовательности элементарных символов, в частности каждой формуле, причем число простых сомножителей такого числа всегда будет равно числу вхождений элементарных символов в обозначаемой формуле.
В исчислении могут использоваться и символы, не входящие в его исходный («основной») алфавит; такие символы вводятся посредством определений, записанных в терминах исходных (и вообще ранее определенных) символов. Например, в наше исчисление можно ввести новый символ (константу) «·», обозначающий союз «и», определив его таким образом, чтобы запись «p·q» воспринималась как сокращение записи «~(~p˅~q)». Какой гёделевский номер сопоставить введенному таким образом символу? Ответ станет совершенно очевидным, когда мы заметим, что из выражений, содержащих дополнительные (введенные определениями) символы, эти новые символы можно исключить, заменив их обозначаемыми ими выражениями, составленными исключительно из исходных символов (для этого мы просто читаем соответствующие определения «справа налево»); для последних же гёделевеcкие номера мы строить умеем. Поэтому нам достаточно условиться считать гёделевским номером формулы «p·q» гёделевский номер эквивалентной ей формулы «~(~p˅~q)», гёделевским номером «формулы» «2 ≠ 3» — номер заменяемой ею «настоящей» формулы «~(ss0=sss0)» и т. п., условившись, конечно (что совсем нетрудно), об однозначном порядке таких «расшифровок».
Рассмотрим, наконец, какую-нибудь последовательность формул (могущую быть в частном случае доказательством), например последовательность
Ǝ x (x = sy),
Ǝ x (x = s0).
Вторая формула последовательности, читаемая как «существует число, непосредственно следующее за нулем», — выводимая из первой формулы посредством подстановки цифры 0 вместо числовой переменной.
Читатель, конечно, помнит, что формальное доказательство мы определяли выше как конечную последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо выводима из предыдущих формул этой последовательности по правилам вывода данного исчисления. Согласно этому определению приведенная пара формул доказательством не является (первая ее формула — не аксиома) — это лишь «кусок» доказательства, на примере которого мы столь же понятно (но далеко не так громоздко) поясним идею нумерации, как и на целом доказательстве.
Выше мы уже определили гёделевский номер первой из этих формул — мы обозначили его тогда через m. Пусть гёделевским номером второй формулы является число n. Как и выше, мы хотим сопоставить нашей последовательности не пару чисел m и n, а некоторое единственным образом определенное натуральное число. Для этого нам достаточно взять в качестве такого гёделевского номера число, являющееся произведением степеней первых двух простых чисел (т. е. чисел 2 и 3), причем первый сомножитель будет входить в это произведение в степени, показатель которой равен гёделевскому номеру первой формулы, и аналогично для второго сомножителя (а также для третьего и других, если мы имеем дело с последовательностью, состоящей более чем из двух формул). Обозначим это число через k: k = 2m × 3n. Такой простой и компактный метод применим, очевидно, для получения гёделевского номера произвольной последовательности формул. Таким образом, любое выражение нашей системы — будь то элементарный символ, последовательность символов или последовательность таких последовательностей — может быть однозначно занумеровано посредством некоторого гёделевского номера.
Теперь уже полная «арифметизация» нашего формального исчисления не представит никакого труда. Такая «арифметизация» попросту сводится к устанорлению некоторого взаимно-однозначного соответствия между выражениями, входящими в исчисление, и некоторым подмножеством натурального ряда.
Не всякое натуральное число есть гёделевский номер константы, переменной или формулы; предоставляем читателю придумать и разобрать примеры на различные возможные случаи.
Если нам дано какое-нибудь выражение, мы без труда напишем его гёделевский номер. Это, однако, лишь полдела. Важно то, что когда нам дано какое-либо натуральное число, то мы можем установить, является ли это число гёделевским номером, а если да — то можем точно «восстановить» обозначаемое этим номером выражение. Если данное число не превосходит 10, то это, как мы знаем, просто номер некоторой константы. Если же данное число больше 10, то его можно разложить, причем единственным образом (в этом состоит так называемая основная теорема арифметики), на простые сомножители. Если оно оказалось простым, квадратом простого или кубом простого числа, то это — гёделевский номер переменной.
Если данное число оказалось произведением степеней первых последовательных простых чисел, то оно может (хотя, конечно, и не обязано) быть гёделевским номером формулы или последовательности формулы.
И в таком случае выражение, которому соответствует данный номер, может быть точно определено.
Следуя намеченной программе, мы можем для любого данного числа совершенно единообразным методом («как машина») проверить, является ли оно гёделевским номером, а если да — то какого выражения[14]. Пусть, например, нам дано число 243 000 000. Разложим его (оно, очевидно, составное) на простые сомножители: 243 000 000 = 64 × 243 × 15 625 = 26 × 35 × 56. Вспомнив, что 6 есть гёделевский номер константы «0», а 5 — гёделевский номер знака «=», рисуем схему:
6 5 6
↓ ↓ ↓
0 = 0
Теперь видно, что число «243 миллиона» действительно есть гёделевский номер некоторой формулы, а именно, формулы «0 = 0» (т. е. «нуль равен нулю»).
7.2. Арифметизация метаматематики
Следующим шагом, который проделал Гёдель, было чрезвычайно остроумное применение описанного выше «кодирования» («гёделевской нумерации»). Он показал, что все метаматематические высказывания о структурных свойствах выражений, входящих в рассматриваемое исчисление, можно изобразить (причем взаимно-однозначным образом) в самом этом исчислении. В основе этой процедуры лежит следующая идея. Поскольку каждому выражению нашего исчисления приписан некоторый (гёделевский) номер, то каждое метаматематическое высказывание о выражениях исчисления и отношениях, имеющих место между ними, можно рассматривать и как высказывание о соответствующих (гёделевских) номерах и отношениях между ними. Таким путем метаматематика оказывается полностью «арифметизированной».
Рассмотрим такой популярный пример. При входе в большие универсальные магазины покупателям иногда выдают билетики с номерами, определяющими порядок дальнейшего обслуживания покупателей. Достаточно бывает посмотреть на эти номера, чтобы ответить на вопросы, сколько покупателей уже обслужено, сколько ожидает своей очереди, кто за кем стоит, сколько всего покупателей было с утра в магазине и т. п. Если, скажем, миссис Смит имеет номер 37, а миссис Браун — номер 53, то вместо того чтобы объяснить миссис Браун, что она должна пропустить вперед миссис Смит, достаточно обратить ее внимание на то, что 37 меньше, чем 53.
- Предыдущая
- 13/19
- Следующая