Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики - Бирюков Борис Владимирович - Страница 29
Приведем пример финитного доказательства непротиворечивости, который позволит конкретно представить существо подхода Гильберта. Докажем, что дедуктивно-аксиоматическая система исчисления высказываний, описанная в главе 4 (система Фреге), непротиворечива, то есть, что в ней нельзя доказать в качестве теоремы некоторую формулу а и ее отрицание ~α[18].
Доказательство любой теоремы в данной системе можно представить как цепочку формул, каждая из которых есть либо аксиома, то есть формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом, либо получена из каких-либо формул, стоящих в цепочке ранее, по модесу поненсу; последняя формула цепочки есть доказываемая теорема. В силу этого самое первое применение правила вывода должно обязательно относиться к аксиомам. В этом смысле можно сказать, что все доказательства — выводы теорем — начинаются на аксиомах, а затем с помощью правила модус поненс получаются новые формулы (причем каждая из них есть теорема). Но поскольку любая формула, подпадающая под какую-либо схему аксиом (аксиома), как мы установили, тождественно-истинна, а модус поненс этой истинности не «портит», то свойство «быть тождественно-истинной формулой» становится в нашей системе «наследственным» — присущим всем теоремам. Это свойство похоже на некий генетический признак, непременно передающийся от родителей к детям. При таком положении дел можно с полной уверенностью утверждать, что среди даже самых дальних потомков прародителей не встретятся экземпляры, лишенные наследуемого признака.
Рассмотрим теперь некие две формулы а и ~а. Если обе они — доказуемые формулы, то есть «потомки» аксиом, порожденные посредством модуса поненса, то они должны быть обе тождественно-истинными. Но это невозможно: из табличного определения отрицания следует, что если одна из этих формул будет тождественно-истинной, то другая окажется тождественно-ложной. Но тождественно-ложная формула не может быть выводимой из аксиом — доказуемой (так как если бы она была доказуемой, то была бы тождественно-истинной и, значит, не тождественно-ложной). Следовательно, одна из формул, а или ~а, недоказуема.
Это рассуждение является совершенно «финитным», оно не использует ни идеи канторовской актуальной бесконечности, ни «идеальных элементов»[19].
Гильберт хотел осуществить такого же рода (мета)доказательство непротиворечивости для более сложной дедуктивной системы — арифметики. Для этого арифметику нужно было построить как аксиоматически-дедуктивную систему и показать, что, пользуясь разрешенными в ней правилами переработки знакосочетаний, мы никогда не выведем в качестве теорем а и ~а. Поскольку арифметика занимается установлением соотношений не только для конкретыых натуральных чисел, но и формулирует законы, которым подчиняются все натуральные числа (например, что а + b = b + а, каковы бы ни были a и b) или какие-то (бесконечные) их множества, и утверждения о существовании чисел с определенными свойствами, то соответствующая формальная система должна быть основана на логике предикатов, в которой имеются правила обращения с кванторами общности V («все») и существования Э («существует»).
Интересно, что у Гильберта в течение нескольких лет, по-видимому, имелось чувство уверенности, что данная проблема вот-вот будет решена, что осталось совсем немного усилий, и непротиворечивость, арифметики будет строго установлена начертанным им в 1927 году на Математическом семинаре в Гамбурге путем[20]. Но шли годы, а дело не сдвигалось с места. А в 1931 году молодей австрийский математик Курт Гёдель опубликовал найденное им доказательство (мета)теоремы, которая многими рассматривается как поворотный пункт в науке об основаниях математики и в математической логике. Методами, признанным» подавляющим большинством математиков совершенно строгими, Гёдель доказал, что в формализованной арифметической системе есть такие формулы, которые по своему содержанию должны быть либо истинными, либо ложными, но которые не могут быть в этой системе ни доказаны, ни опровергнуты. Но это еще не все. Опираясь на этот результат, названный Теоремой о неполноте, Гёдель доказал, что если арифметика непротиворечива, то ее непротиворечивость нельзя; доказать формальными средствами.
Означало ли это крах программы Гильберта? В той своей части, которая касается доказательства непротиворечивости арифметики «финитными» средствами, замысел Гильберта, конечно рухнул. Однако остается открытым следующий путь: так расширять понятие «дозволенных методов доказательства, чтобы теорема Гёделя уже не относились к этим методам. Как писал выдающийся советский математик П. С Новиков(1901—1975), нет «никаких оснований предполагать, что границы, которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математического мышления. Возможен дальнейший анализ предмета математики и выделения в нем надежных непротиворечивых средств, выходящих за рамки фанитизма и все же достаточно сильных для того, чтобы решать интересующие, нас вопросы. Но выход за рамки финитизма не уничтожает основной идеи метода, предложенного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, в силу тех или других соображений принятого в качестве основы»[21].
6. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ
На теорему Гёделя о неполноте ссылается множество людей. Ее приводят как аргумент в пользу своих утверждений физики, инженеры, философы, психологи, биологи, моралисты, педагоги и даже искусствоведы. Но как часто бывает с эпохальными результатами, все говорят о теореме Гёделя, но очень мало кто имеет о ней адекватное представление и еще меньше таких, которые читали её аутентичный текст. До сих пор не имеется русского перевода знаменитой статьи. Это объясняется тем, что в свое время статья Гёделя интересовала только специалистов по математической логике, а все они тогда владели немецким языком. Когда же значение теоремы Гёделя стало выходить за рамки математики, появились компактные и методологически более совершенные ее изложения.
Однако именно изложение Гёделя имеет огромный интерес. Метод, которым сам Гёдель доказал свою теорему, ценен в такой же степени, как и его результат. Вообще, если подходить к вопросу с философской позиции, то метод тут неотделим от результата. Ниже мы, не стремясь, конечно, к какой-либо строгости, очертим общий ход рассуждений Гёделя, сопровождая схему доказательства некоторыми комментариями. Но сначала несколько слов об авторе теоремы.
Курт Гёдель родился в Праге (Чехия в то время входила в состав Австро-Венгрии) в 1906 году. Главные свои открытия он сделал в возрасте 24 лет (заметим, что и Ньютон написал свои лучшие работы примерно в таком же возрасте), однако и в дальнейшем получал крупные научные результаты, относящиеся, в частности, к теории множеств; в 1949 г. он предложил новый тип решения уравнений общей теории относительности, заслужив похвалу Эйнштейна[1]. В настоящее время Гёдель живет в Соединенных Штатах и является профессором Института высших исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. В 1951 г. он был удостоен высшей награды, присуждаемой в США за научные достижения, Эйнштейновской премии.
В статье, в которой доказывалась теорема о неполноте формальной арифметики, Гёдель исследует систему формальной арифметики Principia Mathematica (он называет эту аксиоматически-дедуктивную теорию «системой PM»). Начинает он свою статью следующими словами: «Развитие математики в направлении все увеличивающейся строгости привело, как известно, к формализации многих ее частей, так что стало возможным доказывать теоремы, не пользуясь ничем, кроме нескольких механических правил. Наиболее широкие формальные системы, построенные к настоящему времени, это, с одной стороны, система Principia Mathematica (РМ) и, с другой стороны, система аксиом Цермело—Френкеля для теории множеств (развитая в дальнейшей Дж. фон Нейманом).
- Предыдущая
- 29/52
- Следующая