Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Шермер Майкл - Страница 7

Вычитание двузначных чисел

При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера.

После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86–20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 — 5, в итоге получаем 61. Решение схематически можно представить как:

Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно занимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда бoльшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно превратить в легкие задачки на сложение. Например:

Существуют два способа решить этот пример в уме.

1. Сначала вычитаем 20, затем 9:

Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию.

2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1

Определить, какой метод лучше использовать, вам поможет правило:

Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное число, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54–28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вычисляем 54–30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем ответ — 26.

А теперь закрепим знания на примере 81–37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81–40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа:

Всего лишь немного практики — и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

Вычитание трехзначных чисел

Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел.

Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответствующих цифр первого), поэтому задача не должна быть слишком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.

На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).

Теперь попробуйте сами.

Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?

Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?

Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:

А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?

Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».

На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.

Вычисление дополнений

Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?

Вот ответы:

Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополнение для 57, 32 — для 68 и так далее.

А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:

Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.)

Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37.

Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!)

Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?

Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.

Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и получаем 225 (725–500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновенно дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столько же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257.

Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел: