Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - Белл Эрик Темпл - Страница 13

Первые признаки того, что в VI веке до н. э. появление подобного учения было вполне разумно и возможно, видны на примере полудюжины простых утверждений о прямых линиях и окружностях; и, как гласят предания, Фалес некоторые из них даже доказал. Если прямая линия проходит через центр окружности, она делит окружность на две равные во всех отношениях части.

Или, например, если две стороны треугольника равны, то углы, противоположные равным сторонам, тоже равны. Эти два утверждения подтверждаются при начертании соответствующих фигур, и точно так же очевидна правота другого утверждения: если две прямые линии пересекаются, противоположные углы в точке пересечения попарно равны. Просто внимательно взглянув на чертеж, видим «истину» данного утверждения в геометрии. А если еще немного поразмышляем, то «увидим», что данные выводы не проистекают из каких-либо чисел, которые можно было бы «притянуть» к этому, но, по-видимому, сохраняют справедливость по отношению к любой окружности, любому равнобедренному треугольнику, любой паре пересекающихся прямых линий, которые только в состоянии представить человек. И это означает, что в своей области эти «утверждения» универсальны. Почему? Кто-то скажет, что это вопрос терминологии. Другие найдут утешение в утверждении, что «универсальность» абстрактных линий – это проявление высшего разума.

Четвертое утверждение практически равнозначно: если четырехугольник вписан в окружность, каждая из его диагоналей проходит через центр окружности. Этот вывод, надо признать, не производит сильного впечатления. Но, поданный в иной равнозначной формулировке, он становится, по признанию многих, самой красивой теоремой элементарной геометрии: угол, вписанный в полуокружность, есть прямой угол. Инвариантность, неизменность угла, вне зависимости от места вершины угла на полуокружности, восхищала Данте.

Каждое из приведенных четырех утверждений становится интуитивно очевидным, что явствует в процессе исследования простой фигуры, вроде тех, что ребенок играючи способен нарисовать на поверхности. Все четыре могли быть известны задолго до VI века до н. э., когда впервые в истории их внимательно рассмотрели, но не глазами безучастного ребенка, а пристальным взглядом мудрого человека.

Подобно многим, видевшим справедливость данных утверждений, Фалес также полагал, что очевидность эта интуитивная в смысле видимой «истины». Далее, вполне вероятно, он стал сомневаться в неизбежности столь простых истин в геометрии. Что мы подразумеваем, когда говорим: утверждение о фигуре, составленной из прямых линий, справедливо? Если Фалес и не так формулировал вопрос самому себе или никак его не формулировал, дальнейшее его поведение свидетельствует, что он все-таки сомневался. О действиях Фалеса нам придется судить по записям греческих историков, составивших эти записи много позже того времени, когда Фалеса уже не волновали проблемы прямых линий и окружностей. Историки немногословны, вплоть до неясности, но важно, что именно Фалес ввел абстракцию и доказательства в изучение линий как прямых, так и изогнутых. Доказательство придало значимость справедливости утверждений, как только оно появилось в геометрии. И позволило Платону и его ученикам вообразить, будто они дали смысл доказательству.

Геометрия Египта и Вавилонии еще не оторвалась от своих сугубо утилитарных корней, когда Фалес привез ее в Грецию. Она продолжала в основном заниматься эмпирическими правилами исчисления площадей и объемов.

Предположение о паре равных углов, созданных двумя пересекающимися прямыми линиями, едва ли пришло бы в голову практичным умам, занятым строительством пирамид и рытьем каналов. И все же это предположение часто требуется при доказательстве других предположений, которые ни очевидны, ни бесполезны. Это справедливо и для идеальных абстрактных линий в геометрии, не предназначенных для простых практичных умов, которые не воспринимают их серьезно. В переходе от конкретики чувственного опыта к абстракции идеальных конструкций Фалес совершил прорыв в вечность, опередив своих современников на тысячи лет и целую вселенную.

Вторым его столь же эпохальным деянием стало предположение о том, что некоторые абстракции геометрических фактов, выявленных обычным наблюдением, могут быть выведены из абстракций фактов простейшего уровня, но того же рода. Как утверждают, он «доказал» некоторые из своих теорем «ощутимым», «интуитивным» или «чувственным» методом египтян, говоря: «Я так вижу». Другие же теоремы, и в этом кардинальное отличие для развития науки, математики и философии, он, по описанию, «доказал», или попытался прийти к доказательству «абстрактным», «обобщенным» или «универсальным» методом классических греческих математиков. Вольное толкование последних оправдано обстоятельствами, при которых это было сделано. Адресованы тексты были греческим математикам, жившим много позже Фалеса. Для этих людей греческий метод доказательства означал только прямые дедуктивные рассуждения.

Дабы не воздавать хвалу Фалесу больше, чем он того заслуживает, следует упомянуть, что отдельные историки признают, что он правильно пользовался дедуктивным методом, но не осознал всеобщность процесса: подробное изложение допущений с последующими строго логическими и последовательными выводами. С большей очевидностью, чем сейчас была приведена, подобные выводы не могут быть опровергнуты, как и не могут быть подтверждены. Любой компетентный критик не позволит себе отрицать вклад Фалеса, которому отдают должное за частичное внедрение доказательного процесса в математике. По-настоящему же хвала за развитие полноценного дедуктивного метода воздается отцу западной магии чисел Пифагору. Фалес, скорее всего, был лишен магии и был привержен одному только разуму. Два следующих факта из безвозвратного прошлого могут полностью исчерпать тему его вклада как в математику, так и в философию.

Интерес к первому факту больше исторический. Его значение для развития ранней греческой философии и математики проявится в связи с Зеноном и его несносными парадоксами.

Пирамида Хеопса в Древнем мире считалась чудом из чудес. Подобно всякому греческому путешественнику в Египет, Фалес тщательно изучил этот впечатляющий памятник мумии фараона. Вырождающиеся жрецы демонстрировали пирамиду своему гостю, последнее доказательство утраченной Египтом цивилизации, куда большей, чем грекам суждено когда-либо познать. Если даже колоссальная глыба и внушила благоговейный трепет недавно цивилизованному греку, хотя бы тенью, которую она далеко отбрасывала на пески, он умудрился скрыть свое изумление. К смущению принимающей стороны, Фалес с будничным видом приступил к определению высоты их колоссальной пирамиды. Потрясенные дерзостью непосвященного, священнослужители даже не могли себе представить, как простой смертный без лишних усилий сможет закончить, казалось бы, невыполнимое. Уже сотни веков все головы, им подобные, были столь же пусты, как и череп их мумифицированного фараона. Века, проведенные в бормотании над Книгой мертвых, атрофировали их представления о жизни, а прошлое величие их строителей уже стерлось из памяти. Египет разваливался, Греция стояла на пороге развития.

Существуют две версии того, как Фалес сотворил чудо. Простейшая утверждает, что Фалес измерил тень пирамиды, когда его собственная тень сравнялась с ним по росту.

Все, кто хоть чуть-чуть помнит курс школьной геометрии, поймет, как он получил ответ.

Вторая версия почти повторяет первую. Она напрямую связана с основным выводом одной из самых полезных теорем геометрии. Напомним ее: треугольники ABC, PQR таковы, что внутренние углы А, В, С соответственно равны внутренним углам P, Q, R. АВ – сторона между вершинами А и В. Это означает, что ей соответствует определенное число, определяющее длину стороны, что справедливо и для всех остальных сторон треугольников. Теорема утверждает, что соотношения