Вы читаете книгу
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Беллос Алекс
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс - Страница 86
Вот как это делается. Вообразим себе, что первый из прибывших одет в футболку с разложением 0,6429657, второй — 0,0196012 и администратор отводит им номера 1 и 2. И пусть он так и продолжает назначать номера следующим, кто прибывает, в результате у него получается бесконечный список, начало которого выглядит следующим образом (не будем забывать еще, что разложения продолжаются до бесконечности):
Номер 1 0,6429657… Номер 2 0,0196012… Номер 3 0,9981562… Номер 4 0,7642178… Номер 5 0,6097856… Номер 6 0,5273611… Номер 7 0,3002981… Номер… 0…. … …Наша цель, как было сказано, состоит в том, чтобы предъявить десятичное разложение, лежащее между 0 и 1, которого нет в этом списке. Мы этого добьемся, используя следующий метод. Сначала построим число, первая десятичная цифра которого совпадает с первой десятичной цифрой из номера 1, вторая десятичная цифра — со второй из номера 2, третья — с третьей из номера 3 и т. д. Другими словами, мы выберем цифры, стоящие на диагонали. Для удобства мы их подчеркнем:
Номер 1 0,6429657… Номер 2 0,0196012… Номер 3 0,9981562… Номер 4 0,7642178… Номер 5 0,6097356… Номер 6 0,5273611… Номер 7 0,3002981… Номер… 0…. … …Полученное число такое: 0,6182811….
Мы почти у цели. Теперь, в качестве последнего действия, построим число, которого нет в списке администратора: изменим каждую цифру в только что полученном числе, прибавляя 1 к каждой цифре, так что 6 станет 7, 1 станет 2, 8 станет 9 и т. д.; в результате получится число
0,7293922….
Это оно и есть! Это то самое десятичное разложение, не включенное в список, которое мы искали. Оно не может быть в списке администратора, потому что мы искусственно построили его таким, чтобы оно там не содержалось. Это не число из номера 1, потому что его первая цифра отлична от первой цифры числа из номера 1. Наше число — не из номера 2, потому что его вторая цифра отлична от второй цифры числа из номера 2, и т. д. — откуда видно, что наше число не может относиться ни к какому номеру n, потому что его n-я цифра непременно отлична от n-й цифры в разложении из номера n. Поэтому наше хитрое разложение 0,7293922… не может быть равным никакому из разложений, написанных на футболках путешественников, расселенных по номерам отеля, ведь всегда по крайней мере одна цифра из этого десятичного разложения будет отличаться от десятичного разложения, приписанного данному номеру. В списке вполне может оказаться число, первые семь десятичных цифр которого равны 0,7293922, и, однако же, оно будет отличаться от нашего специального числа по крайней мере одной цифрой где-то дальше в разложении. Другими словами, даже если администратор все дальше и дальше будет продолжать раздавать номера, он не сможет найти номер для путешественника, на котором надета футболка с придуманным нами числом, которое начинается как 0,7293922….
Я взял список, начинающийся с произвольных чисел 0,6429657… и 0,0196012…, но равным образом я мог бы рассмотреть список, начинающийся с любых других чисел. Для каждого списка, который можно создать, всегда удастся выписать, используя предложенный выше «диагональный» метод, такое число, которое в данном списке не присутствует. Пусть в Гильбертовом отеле бесконечное число номеров, но в нем нельзя расселить такое бесконечное число людей, которое определяется десятичными разложениями всех чисел между 0 и 1. Всегда кто-то останется на улице. Отель для этого просто недостаточно вместительный[72].
Сделанное Кантором открытие того, что имеется бесконечность большая, чем бесконечность натуральных чисел, было одним из величайших математических прорывов XIX столетия. Это сногсшибательный результат, и сила его не в последнюю очередь определяется тем, что его совсем несложно объяснить: некоторые бесконечности — счетные, и их размер равен ?0, а некоторые бесконечности — не счетные, а потому большие. И эти несчетные бесконечности тоже могут иметь различные размеры.
Самая простая для понимания несчетная бесконечность называется с, она выражает число людей, прибывших в Гильбертов отель одетыми в футболки со всеми десятичными разложениями между 0 и 1. Подобно тому, что мы делали выше, поучительно интерпретировать с, глядя на числовую прямую. Каждый персонаж с десятичным разложением между 0 и 1 на футболке можно также понимать как точку на прямой, лежащую между 0 и 1. Символ с был исходно выбран потому, что он напоминает о слове «континуум» — непрерывном множестве точек на числовой прямой.
И здесь мы подошли к еще одному странному результату. Мы знаем, что имеется с точек, лежащих между 0 и 1, но при этом мы также знаем, что имеется ?0 дробей на всей числовой прямой, взятой целиком. Поскольку мы доказали, что с превосходит ?0, получается, что на отрезке прямой между 0 и 1 помещается больше точек, чем имеется точек, представляющих дроби на всей числовой прямой.
Кантор снова завел нас в мир, противоречащий интуиции. Дроби, хоть их и бесконечно много, ответственны только за очень малую, просто крохотную часть числовой прямой. Они рассыпаны там гораздо реже, чем числа того другого типа, которые в основном и составляют числовую прямую, — числа, которые нельзя выразить в виде обыкновенной дроби, то есть наши старые друзья — иррациональные числа. Оказывается, что иррациональные числа сидят на числовой прямой настолько плотно, что в любом конечном интервале их больше, чем дробей на всей числовой прямой.
Мы определили с как число точек на числовой прямой, заключенных в интервале между 0 и 1. Сколь много точек имеется между 0 и 2 или между 0 и 100? В точности c. На самом деле между любыми двумя точками на числовой прямой имеется ровно c точек, независимо от того, насколько далеко друг от друга располагаются выбранные концы. Но еще более поразительным является то, что совокупность точек на всей числовой прямой также есть c, что видно из следующего доказательства, проиллюстрированного на рисунке.
Наша цель — показать, что имеется взаимнооднозначное соответствие между точками, лежащими между 0 и 1, и точками на всей числовой прямой. Для этого найдем для каждой точки на числовой прямой пару из отрезка от 0 до 1. Сначала нарисуем полуокружность, висящую над этим отрезком. Эта полуокружность играет роль посредника в том плане, что она организует в пары точки, лежащие между 0 и 1, и точки на всей числовой прямой. Возьмем любую точку на числовой прямой, обозначенную буквой а, и проведем прямую линию из a к центру окружности. Эта прямая пересекает полуокружность в точке, которая единственным образом определяет расстояние между 0 и 1, обозначенное a', если провести прямую вертикально вниз до пересечения с числовой прямой. Организуем пару из каждой точки a и точки a', которая однозначно определяется для нее указанным выше способом. Когда выбранная точка а устремляется к плюс бесконечности, соответствующая точка между 0 и 1 приближается к 1, а когда выбранная точка устремляется к минус бесконечности, соответствующая точка приближается к 0. Если каждую точку на числовой прямой можно соединить в пару с единственной точкой, лежащей между 0 и 1, и наоборот, то, значит, число точек на числовой прямой равно числу точек, лежащих между 0 и 1.
72
В применении «диагонального метода» имеются тонкости, связанные с тем, что одно и то же число можно записать двумя способами, как это обсуждалось в гл. 3, где мы видели, что 0,9999… = 1. Но связанные с этим сложности преодолимы, и диагональный метод действительно работает во всей строгости. (Примеч. перев.)
- Предыдущая
- 86/88
- Следующая