Вы читаете книгу
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Беллос Алекс
Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - Беллос Алекс - Страница 31
Однако гораздо чаще Дазе вспоминают совсем за другое вычисление. Еще подростком он вычислил число ? с точностью в 200 разрядов, что для того времени было рекордом.
В окружающем нас мире окружности и круги присутствуют повсюду — и в видимой форме Луны, и в глазах людей и животных, и в срезе яйца, которое вы едите на завтрак. Привяжите собаку к шесту, воткнутому в землю, и путь, по которому она будет бегать вокруг шеста, охраняя территорию на натянутом поводке, будет окружностью. Окружность — это простейшая геометрическая форма. И древнему египтянину, прикидывающему, сколько зерна потребуется, чтобы засеять круглое поле, и римскому мастеровому, отмеряющему, сколько дерева пойдет на колесо, требовались вычисления, связанные с окружностями.
Уже в античные времена люди понимали, что отношение длины окружности к ее диаметру всегда одно и то же, независимо от величины окружности. Это отношение известно как число ?, его величина — чуть больше трех. Так что если вы возьмете диаметр окружности и, слегка изогнув, приложите его к самой окружности, то окажется, что он укладывается в ней три с небольшим раза.
Хотя число ? и представляет собой простое отношение, если выражать его через свойства окружности, задача нахождения его точного значения оказалась вовсе не простой. Эта неуловимость числа ? тысячи лет завораживала математиков. И чего тут удивляться! ? — единственное число, одновременно являющееся названием и песни (Кейт Буш)[26], и парфюма (мужской туалетной воды от «Givenchy»). Кстати, из отдела «Givenchy» по связям с общественностью мне прислали следующий текст:
? — Пи
ЗА ПРЕДЕЛАМИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Прошло четыре тысячи лет, а эта тайна
все еще остается тайной.
И хотя каждый школьник изучает ?,
этот знакомый символ
по-прежнему скрывает в себе бездны
величайшей сложности.
Почему мы выбрали ? как вечный символ
мужского начала?
Все дело в знаках и указателях.
Если ? — это история
долгой борьбы за достижение недостижимого,
то это и портрет
легендарного покорителя неизведанного,
идущего вперед в поисках Знания.
Пи говорит нам о мужчинах, обо всех мужчинах,
об их научном гении,
об их тяге к приключению, об их готовности
к действию
и об их стремлении к недостижимому.
Самые ранние приближения числа ? дошли до нас от древних вавилонян, использовавших значение 31/8, и от египтян, которые пользовались значением 4(8/9)2, что в десятичных дробях выражается, соответственно, как 3,125 и 3,160.
Позднее, в Древней Греции, первым в череде гениев с необычайной страстью к числу ? был Архимед — мыслитель, предпочитавший иметь дело с миром реальности, в отличие от Евклида, существовавшего в мире абстракций. Среди многочисленных изобретений Архимеда были гигантская катапульта и система зеркал, с помощью которых он сфокусировал солнечные лучи так, что поджег римские корабли во время осады Сиракуз. А кроме того, он оказался первым, кто предложил метод вычисления числа ?.
Итак, Архимед нарисовал окружность, а затем построил два шестиугольника: один — вписанный в окружность, а другой — описанный вокруг нее, как указано на рисунке.
Одно это уже говорит нам, что значение числа ? должно лежать где-то между 3 и 3,46 — это можно определить, вычисляя периметры двух шестиугольников. Если принять диаметр окружности равным 1, то периметр внутреннего шестиугольника равен 3, что меньше, чем длина окружности, равная ?, что в свою очередь меньше, чем периметр внешнего шестиугольника, равный 3v2, то есть с точностью до двух десятичных разрядов — 3,46. (Архимед находил периметр внешнего шестиугольника, используя метод, который по сути был довольно канительным предшественником тригонометрии и который слишком сложен для того, чтобы здесь его приводить.) Итак,
3 < ? < 3,46.
Если теперь повторить вычисление, используя два правильных многоугольника с более чем шестью сторонами, то для ? получится более узкий интервал. Дело в том, что чем больше у многоугольника сторон, тем ближе его периметр к длине окружности, в чем можно убедиться, глядя на приведенный выше рисунок с двенадцатиугольником. Многоугольники ведут себя подобно стенам, смыкающимися вокруг ?, зажимая его снаружи и изнутри, между все более узких пределов. Архимед начал с шестиугольников, а в конце довел дело до многоугольников с 96 сторонами, что позволило ему вычислить ? следующим образом:
310/71 < ? < 31/7.
Это дает 3,14084 < ? < 3,14289 — точность в два десятичных разряда.
Шестиугольники Двенадцатиугольники
Однако охотники за числом ? не собирались на этом останавливаться. Все, что требовалось, дабы подобраться поближе к истинному значению этого числа, — это строить многоугольники со все большим числом сторон. Лю Хуэй, живший в Китае в III веке, применил сходный метод, используя площадь многоугольника с 3072 сторонами, и получил пять десятичных разрядов числа ?: 3,14159. Два столетия спустя Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи продвинулись дальше еще на одну цифру, до 3,141592, что потребовало многоугольника с 12 288 сторонами.
Грекам и китайцам мешали неуклюжие обозначения. Когда в конце концов математики стали применять арабские числительные с десятичной запятой, прежние рекорды тут же пали. В 1596 году голландский учитель фехтования Лудольф ван Цейлен, используя метод удвоения, дошел до многоугольника с 60 ? 229 сторонами и нашел значение ? с точностью до 20 десятичных знаков. Опус, в котором он напечатал свой результат, заканчивался так: «У кого есть охота, пусть подойдет ближе». Он продолжал вычислять и получил число ? с точностью до 32 и затем 35 десятичных знаков, каковые и были высечены на его надгробии. В Германии die Ludolphsche Zahl — число Лудольфа, или лудольфово число, — до сих пор допустимо в качестве названия числа ?.
В течение двух тысяч лет единственный способ определить значение числа ? состоял в использовании многоугольников.
Но в XVII веке Готфрид Лейбниц и Джон Грегори открыли новую страницу в истории числа ?, предложив формулу
Другими словами, четвертая часть ? равна единице минус одна треть плюс одна пятая минус одна седьмая плюс одна девятая и т. д.: надо попеременно прибавлять и вычитать дроби с единичным числителем и со знаменателем, последовательно равным нечетным числам, устремляющимся в бесконечность. До этого ученые видели в десятичном разложении числа ? лишь случайный набор цифр. И вдруг появилось одно из наиболее изящных, ничем не усложненных уравнений во всей математике. Оказалось, что образцовый представитель беспорядка несет некий порядок в своей ДНК.
Лейбниц пришел к этой формуле, используя «анализ» — мощный раздел математики, в котором для вычисления площадей, кривых и наклонов стали применяться новые представления о бесконечно малых величинах. Формула Лейбница представляет собой так называемый бесконечный ряд — сумму, которая продолжается и продолжается без конца. И эта формула дает способ вычислить число ?. Для начала нам надо умножить обе ее части на 4:
26
Буш Кейт (Kate Bush) — английская исполнительница, работающая на стыке поп-музыки и прогрессивного рока; песня «Pi» вошла в альбом «Aerial» (2005). В словах этой песни имеются такие строки:
(Примеч. nepeв.)
- Предыдущая
- 31/88
- Следующая