Выбрать книгу по жанру
Фантастика и фэнтези
- Боевая фантастика
- Героическая фантастика
- Городское фэнтези
- Готический роман
- Детективная фантастика
- Ироническая фантастика
- Ироническое фэнтези
- Историческое фэнтези
- Киберпанк
- Космическая фантастика
- Космоопера
- ЛитРПГ
- Мистика
- Научная фантастика
- Ненаучная фантастика
- Попаданцы
- Постапокалипсис
- Сказочная фантастика
- Социально-философская фантастика
- Стимпанк
- Технофэнтези
- Ужасы и мистика
- Фантастика: прочее
- Фэнтези
- Эпическая фантастика
- Юмористическая фантастика
- Юмористическое фэнтези
- Альтернативная история
Детективы и триллеры
- Боевики
- Дамский детективный роман
- Иронические детективы
- Исторические детективы
- Классические детективы
- Криминальные детективы
- Крутой детектив
- Маньяки
- Медицинский триллер
- Политические детективы
- Полицейские детективы
- Прочие Детективы
- Триллеры
- Шпионские детективы
Проза
- Афоризмы
- Военная проза
- Историческая проза
- Классическая проза
- Контркультура
- Магический реализм
- Новелла
- Повесть
- Проза прочее
- Рассказ
- Роман
- Русская классическая проза
- Семейный роман/Семейная сага
- Сентиментальная проза
- Советская классическая проза
- Современная проза
- Эпистолярная проза
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Феерия
Любовные романы
- Исторические любовные романы
- Короткие любовные романы
- Любовно-фантастические романы
- Остросюжетные любовные романы
- Порно
- Прочие любовные романы
- Слеш
- Современные любовные романы
- Эротика
- Фемслеш
Приключения
- Вестерны
- Исторические приключения
- Морские приключения
- Приключения про индейцев
- Природа и животные
- Прочие приключения
- Путешествия и география
Детские
- Детская образовательная литература
- Детская проза
- Детская фантастика
- Детские остросюжетные
- Детские приключения
- Детские стихи
- Детский фольклор
- Книга-игра
- Прочая детская литература
- Сказки
Поэзия и драматургия
- Басни
- Верлибры
- Визуальная поэзия
- В стихах
- Драматургия
- Лирика
- Палиндромы
- Песенная поэзия
- Поэзия
- Экспериментальная поэзия
- Эпическая поэзия
Старинная литература
- Античная литература
- Древневосточная литература
- Древнерусская литература
- Европейская старинная литература
- Мифы. Легенды. Эпос
- Прочая старинная литература
Научно-образовательная
- Альтернативная медицина
- Астрономия и космос
- Биология
- Биофизика
- Биохимия
- Ботаника
- Ветеринария
- Военная история
- Геология и география
- Государство и право
- Детская психология
- Зоология
- Иностранные языки
- История
- Культурология
- Литературоведение
- Математика
- Медицина
- Обществознание
- Органическая химия
- Педагогика
- Политика
- Прочая научная литература
- Психология
- Психотерапия и консультирование
- Религиоведение
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Технические науки
- Учебники
- Физика
- Физическая химия
- Философия
- Химия
- Шпаргалки
- Экология
- Юриспруденция
- Языкознание
- Аналитическая химия
Компьютеры и интернет
- Базы данных
- Интернет
- Компьютерное «железо»
- ОС и сети
- Программирование
- Программное обеспечение
- Прочая компьютерная литература
Справочная литература
Документальная литература
- Биографии и мемуары
- Военная документалистика
- Искусство и Дизайн
- Критика
- Научпоп
- Прочая документальная литература
- Публицистика
Религия и духовность
- Астрология
- Индуизм
- Православие
- Протестантизм
- Прочая религиозная литература
- Религия
- Самосовершенствование
- Христианство
- Эзотерика
- Язычество
- Хиромантия
Юмор
Дом и семья
- Домашние животные
- Здоровье и красота
- Кулинария
- Прочее домоводство
- Развлечения
- Сад и огород
- Сделай сам
- Спорт
- Хобби и ремесла
- Эротика и секс
Деловая литература
- Банковское дело
- Внешнеэкономическая деятельность
- Деловая литература
- Делопроизводство
- Корпоративная культура
- Личные финансы
- Малый бизнес
- Маркетинг, PR, реклама
- О бизнесе популярно
- Поиск работы, карьера
- Торговля
- Управление, подбор персонала
- Ценные бумаги, инвестиции
- Экономика
Жанр не определен
Техника
Прочее
Драматургия
Фольклор
Военное дело
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - Манкевич Ричард - Страница 33
Огастес де Морган был верным сторонником новой алгебры. Он родился в Индии, посещал Колледж Троицы в Кембридже, но не стал «оксфордианцем» или «кембриджианцем», потому как, хотя и принадлежал к англиканской церкви, де Морган отказался пройти теологический экзамен, необходимый для получения диплома. Вместо этого в возрасте двадцати двух лет он был назначен профессором недавно основанного светского Лондонского университета, позднее получившего название Университетского колледжа в Лондоне. Он значительно развил идеи Пикока, уже в 1830 году заявив, что «за одним-единственным исключением, в этой главе ни одно из понятий или знаков арифметики или алгебры не имеет ни малейшего значения. Предмет обсуждения этой главы — символы и законы их сочетания, позволяющие создать символическую алгебру, которая после этого может стать грамматикой для ста различных алгебр». Единственным исключением, по де Моргану, был символ равенства, по этой причине в выражении х=у х и у должны иметь одно и то же значение. Это странно звучащее высказывание взято из книги «Тригонометрия и двойная алгебра» (1830): «двойная алгебра» относится к сдвоенной природе комплексных чисел в противоположность «одиночной алгебре» действительных чисел. Но де Морган, казалось, не сумел до конца понять важность собственного заявления: увидев подобие между одинарной и двойной алгебрами, он полагал, что тройной или четверной алгебры быть не может. В этом он сильно ошибался.
Несмотря на то что оба родителя Уильяма Роуэна Гамильтона умерли, когда он был еще ребенком, его дарование стало заметным очень рано. Талантливый лингвист, он уже в пятилетием возрасте читал тексты на греческом, иврите и латыни. Он проступил в Дублинский Тринити Колледж и в двадцать два года, еще не получив диплома о завершении образования, был назначен Королевским астрономом Ирландии, директором обсерватории Дансинка и преподавателем астрономии. Одной из его любимых тем было рассуждение о том, что пространство и время неразрывно связаны, причем геометрия — это наука о пространстве, а алгебра — наука о времени. В 1833 году он представил в ирландскую Королевскую академию характерное представление сложных чисел а + ib как упорядоченной пары (а, b) со ставшими теперь стандартными геометрическими интерпретациями сложения и умножения:
(а, b) + (с, d) = (а + с, b + d)
(а, b) х (с, d) = (ас - bd, ad + bc)
Затем он попытался распространить систему двумерных сложных чисел до трех измерений. Поначалу это казалось довольно просто — он просто определил z = а + ib + jc с длиной, равной √ (а2 + b2 + с2). Определение сложения тоже было довольно простым, но умножение просто не будет работать: невозможно менять сомножители местами без изменения результата. Эта проблема и числа более высокого порядка не давали ему покоя больше десяти лет. Затем, 16 октября 1843 года, он шел с женой вдоль Королевского канала, и вдруг на него снизошло озарение: нужно использовать четверки, а не тройки и отбросить закон коммутативности. В результате четверки выглядели так: z=a + ib +jc + kd c i2 =j2 = k2 = ijk = -1. Это означало, что ij = k, но ji = -k, так что переместительный закон был отброшен. Но в целом структура была последовательной. Так возникла новая алгебра. Гамильтон остановился и вырезал формулу ножом на камне Бротонского моста. В тот день он оповестил ирландскую Королевскую академию, что на следующей встрече он желает прочитать лекцию о кватернионах — так он назвал свои четверки.
Важность этого открытия — не только в создании новой алгебры, но и в том, что математики получали свободу построения новых видов алгебры. Это первая подробная теория о некоммутативной алгебре. Свойство некоммутативности означает, что при трех измерениях общая последовательность двух вращений даст различные результаты в зависимости от того, в каком порядке они будут выполняться, в отличие от того, что происходит при двух измерениях. Оставшуюся часть жизни Гамильтон развивал новую алгебру и в 1853 году опубликовал «Лекции о кватернионах». Большая часть этой работы посвящена применению кватернионов в геометрии, дифференциальной геометрии и физике. Как мы увидим в следующей главе, Джеймс Клерк Максвелл сформулировал свои уравнения электромагнетизма в нотации кватернионов. Гамильтон был до одержимости твердо уверен, что кватернионы — ключ к полному описанию законов Вселенной. Он умер в 1865 году, почти завершив свой труд «Основы теории кватернионов», который был отредактирован и издан его сыном уже после смерти ученого.
Не только алгебра вырвалась из цепей геометрии, но и геометрия вышла за рамки пространственных концепций (см. Главу 16). И алгебру, и геометрию все больше рассматривали как абстрактные конструкции, простыми частными случаями которых были знакомая нам арифметическая алгебра и двух- и трехмерная геометрия.
Теорема 1
Все операции с языком как инструментом рассуждения могут быть выполнены с помощью системы знаков, состоящих из следующих элементов:
1. буквенные символы, такие, как х, у и т. д., которые отображают объекты наших концепций.
2. Знаки операций, такие, как +, -, х, описывают операции, являющиеся предметом наших размышлений, при помощи которых концепции и объекты комбинируются или решаются, чтобы сформировать новые концепции, вовлекающие те же самые элементы.
3. Знак равенства, =.
И эти символы логики используются, подчиняясь определенным законам, отчасти согласующимся с законами, соответствующими тем, что приняты в алгебре, а частично отличающимся от них.
Молодая американская математика проявила себя именно в области создания новых алгебр. Бенджамин Пирс (1809–1890), профессор математики в Гарварде и директор Геодезической службы, был очень впечатлен работой Гамильтона и начал широко распространять его идеи в США. Пирс начал составлять таблицы для 162 различных алгебр. Каждая алгебра начиналась с нескольких — от двух до шести — элементов, которые могли быть скомбинированы при помощи двух операций — ассоциативного умножения и сложения. В сложении всегда был нейтральный элемент ноль, однако умножение порой не имело нейтрального элемента 1. Каждая из этих «линейных ассоциативных алгебр» разворачивалась в матрицу. Из-за того что профессор Гарварда в 1870-е годы был вынужден издавать свою работу литографическим способом, некоторые заключили, что в США экономические трудности. Работа была записана переписчицей от руки и напечатана в количестве всего 100 экземпляров. Сын Бенджамина, Чарльз Сандерс Пирс (1839–1914), продолжил работу отца и показал, что из всех 162 алгебр только в трех была уникально определенная операция деления — в арифметической алгебре, алгебре комплексных чисел и алгебре кватернионов. В Англии Уильям Кингдон Клиффорд (1845–1879) создал свои алгебры (в том числе алгебру октонианов и бикватернионов). Он сделал это прежде всего для того, чтобы изучить движение в неевклидовом пространстве. Все эти новшества увели ученых далеко от той алгебры, которую знали в начале столетия.
Здесь история разветвляется на множество переплетающихся путей. Последователи Буля применили математику к логике, создав алгебраическую логику; итальянский математик Джузеппе Пеано (1858–1932), а позднее английский математик и философ Бертран Рассел (1872–1970) стремились вывести математику из логики — эту затею можно определить как логицизм. Другие ученые, тревожась из-за появления новых математических структур, начали искать твердый фундамент математики — то, на чем сможет надежно стоять все здание этой науки. О практических результатах этого поиска можно узнать из главы 23.
- Предыдущая
- 33/47
- Следующая