Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина (ЛП) - Стюарт Йен - Страница 45

Какое же кардинальное число соответствует всем числам (и, соответственно, любого множества, которое можно с ним соотнести)? Классическое название это «бесконечность». Однако Кантор, будучи осторожным, предпочел название, которое не так сильно цепляло внимание, поэтому в 1883 году он дал ему имя «Алеф» — по первой буква еврейского алфавита, и подписал под ней небольшой ноль, по причинам, которые выяснились довольно скоро: Алеф-нуль.

Он знал что именно он начал:

«Я точно знаю, что выбрав такую процедуру я противопоставил свою позицию широко распространённому мнению относительно бесконечности в математике и текущим взглядам на природу числа. " Он получил то, что и ожидал: много критики и особенно от Леопольда Кроникера. «Бог создал целые числа: всё остальное — дело рук человеческих» — заявлял Кроникер.

Сейчас, правда, большинство их нас думает, что и целые числа создал человек.

Зачем тогда вводить новый символ? (тем более еврейский). Если бы по мнению Кантора существовала только одна бесконечность, он смело назвал бы её просто «бесконечность» и использовал бы классический символ перевёрнутой восьмёрки. Он быстро понял, что согласно его точки зрения, могут существовать и другие бесконечности, а он вполне вправе назвать их альф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как же могут существовать другие бесконечности? Это является большим и неожиданным последствием неразвитой идеи соотнесения. Чтобы объяснить как это происходит, в каком-то смысле нам нужно будет поговорить о действительно больших числах. Конечных и бесконечных. Чтобы убедить вас в том, что все они белые и пушистые мы введем простую условность.

Если n обозначает любое число любого размера, тогда n-плекс обозначает 10 в степени n, что означает единицу с n нулями. Так что 10 в степени 2 это 100, 10 в шестой степени это 1000 000, миллион; 10 в девятой степени это миллиард. Когда степень равна 100, то мы получает гугл. Таким образом гуглплекс можно описать как 10 в степени гугл.

Подобно Кантору можно легко представить 10 в степени бесконечность. Но давайте быть точнее: как быть с алеф в степени ноль? Что такое 10 в степени алеф-ноль?

Примечательно что оно имеет совершенно разумное значение. Это кардинальное число множества всех действительных чисел — чисел которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби. Вспомним эфебского философа Фтагонала, который знаменит высказыванием «Диаметр делит окружность. тогда соотношение должно равняться трём. Но так ли это? Нет. Три, запятая, один, четыре и куча других цифр после запятой. И нет числа этим чёртовым числам.» Конечно это отсылка к самому знаменитому из вещественных чисел — числу Пи, которое нуждается в бесконечном количестве знаков после запятой, чтобы оценить его точность. Округлённое до одного знака после запятой, оно равно 3,1. Округлённое до двух знаков после запятой оно равно 3,14. До трёх — 3,141. Так до бесконечности.

Кроме Пи, существует множество других вещественных чисел. Насколько велико фазовое пространство всех вещественных чисел?

Подумайте о знаках после запятой. Если мы рассматривает один знак, то для него есть 10 возможных вероятностей: любое из чисел от 0 до 9. Если мы рассматриваем два знака после запятой, то для него есть 100 вероятностей: от 00 до 99. Если мы рассматриваем три знака после запятой, тогда для него существует 1000 вероятностей: от 000 до 999.

Закономерность понятна. Если мы рассматриваем n знаков после запятой, тогда существует 10 в степени n вероятностей. А это n-плекс.

Если знаки после запятой могут продолжаться «вечно», первым делом нужно спросить какого вида «вечность» имеется ввиду. И ответом является алеф-ноль Кантора, потому что в нём есть первый знак после запятой, второй, третий. эти места соответствую целым числам. Так что если всё множество чисел n равно аллеф-нолю, мы обнаружим, что кардинальное число этого множества всех вещественных чисел (не принимая внимания знаки после запятой) равно 10 в степени алеф-ноль. То же самое верно в силу более сложных причин, если мы не будем учитывать все знаки после запятой.[65]

Всё отлично, но предположительно 10 в степени алеф-ноль окажется очень хорошо замаскированным алеф-нолём, поскольку все бесконечности должны быть равны? Нет, они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотносить вещественный и целые числа. Так что 10 в степени алеф-ноль больше чем алеф-ноль.

Он пошёл дальше. Гораздо дальше. Он доказал[66], что поскольку n является любым бесконечным кардинальным числом, 10 в степени n является ещё большим кардинальным числом. Так что 10 в степени алеф-ноль ещё больше, а 10 в степени 10 в степени алеф-ноль ещё больше… и так далее.

Бесконечностям Кантона нет числа. И нет какой-то самой большой «гипербесконечности».

Понятие бесконечности как о «самом большом из возможным чисел» встречает здесь определённые трудности. И это разумный способ создать бесконечную серию арифметических рядов.

Если вы начнёте с любого кардинального алеф-n, тогда 10 в степени алеф-n ещё больше. Естественно предположить, в результате у вас получится алеф-(n+1) — это утверждение называется обобщённой континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий отношения ни к Джеку, ни к Коэну) доказал, что… ну это от много зависит. В некоторых вариациях теории множеств это утверждение является правдой, а в других оно ложно.

Таковы математические основы, вот почему лучше сначала построить дом, а только потом закладывать фундамент. В этом случае, если они вас не устраивают, вы можете построить вместо них что-нибудь другое. Не разрушая сам дом.

Таким образом Кантор создал Рай: совершенно новая система счисления алефов, бесконечностей сверх всякой меры и очень сильно ощущение «никогда». Оно совершенно естественно возникает из одного простого принципа: для установки логических оснований арифметики вам нужна только техника «соотнесения». Большинство действующих математиков теперь согласны с Гилбертом и идеи Кантора, вначале казавшиеся удивительными были вплетены в саму ткань математики.

Волшебники не просто противостоят математике бесконечности. Они ещё хорошенько запутались с физике. А здесь возникают совершенно новые вопросы на тему бесконечности. Является ли вселенная конечной или бесконечной? Какого вида эта конечность/бесконечность? И что там со всеми параллельными мирами о которых говорят космологи и квантовые физики? Даже если каждая их этих вселенных конечна, бесконечно ли их общее число?

Согласно современной космологии обычно мы полагаем, что наша вселенная конечна. Она родилась в качестве крошечной точки в результате большого взрыва, а затем на протяжении 13 миллиардов лет расширялась с конечной скоростью, так что она продолжает быть конечной Конечно в мелких масштабах она может быть бесконечно неделимой, подобно математической длине или плоскости, но с позиций квантовой механики на уровне ниже Планковской длины может быть определённо зернистой, так что вселенная имеет огромное, но конечное число возможных квантовых состояний.

Многомировая интерпретация квантовой теории была изобретена физиком Хью Эверетом как способ связать квантовое понимание мира с повседневным «здравым» смыслом. Она утверждает, что всякий раз когда свершается выбор — к примеру, какой именно спин имеет электрон или находится ли кот в живом или мёртвом состоянии — вселенная не просто совершает выбор и отказывается от всех альтернатив. Это так кажется нам, но на самом деле вселенная совершает все возможные выборы. Бесчисленные «альтернативные» или «параллельные» миры ответвляются от того, который мы ощущаем. В одном из них Гитлер выиграл Вторую Мировую, а в другом за ужином вы съели лишнюю оливку.

Повествовательно говоря, многомировое описание, которое предоставляет квантовая механика, выглядит довольно привлекательно. Ни один автор в поисках впечатляющего научного трюка, который оправдывает перемещение персонажей в альтернативную сюжетную линию (здесь мы признаём свою вину) не может ему противостоять.