Загадки, фокусы и развлечения (сборник) - Перельман Яков Исидорович - Страница 10

А на четвертый год 27000000000 x 3000 = 81000000000000.

На пятом году макам будет уже положительно тесно на земном шаре, потому что число растений будет равно 81000000000000 x 3000 = 243000000000000000;

поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135000000000000 квадр. метров.

Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, то потомство одного растения могло бы всего в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в обыкновенном маковом зернышке!

Сделав подобный же расчет не для мака, а для какого-нибудь другого растения, приносящего меньше семян, вы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в 5 лет, а в несколько больший срок. Возьмем, например, одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Если бы все они прорастали, мы имели бы:

в 1-й год 1 растение

» 2-й » 100 растений

» 3-й » 10.000 »

» 4-й » 1.000.000 »

» 5-й » 100.000.000 »

» 6-й » 10.000.000.000 »

» 7-й » 1.000.000.000.000 »

» 8-й » 100.000.000.000.000 »» 9-й » 10.000.000.000.000.000 »

Следовательно, на 9-м году все материки были бы покрыты одуванчиками по 70 на каждый квадратный метр.

Почему же в действительности мы не наблюдаем такого чудовищно быстрого размножения? Потому что огромное большинство семян погибает, не давая ростков:

они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, то каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно и для животных. Если бы не было смерти, то потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю. Полчища саранчи, сплошь покрывающие огромные пространства, могут дать нам некоторое представление о том, что было бы, если бы смерть не препятствовала размножению живых существ.

В каких-нибудь два-три десятка лет все материки заросли бы непроходимыми лесами и степями, где кишели бы миллионы животных, борющихся между собою за место. Океан наполнился бы рыбой до того густо, что никакое судоходство не было бы возможно. А воздух стал бы непрозрачен от множества птиц и насекомых…

В заключение рассмотрим для примера, как быстро размножается комнатная муха. Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появляться 7 поколений мух. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней успевает вырости настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:

15 апреля – самка отложила 120 яиц,

в начале мая – вышло 120 мух, из них 60 самок,

5 мая – каждая самка кладет 120 яиц,

в середине мая – выходит 60 x 120 = 7200 мух; из них 3600 самок;

25 мая – каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц;

в начале июня – выходит 3600 x 120 = 432000 мух, из них 216000 самок;

14 июня – каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц;

в конце июня выходит 25920000 мух, в том числе 12960000 самок;

5 июля – 12960000 самок кладут по 120 яиц;

в июле – выходит 1555200000 мух; среди них 777600000 самок;

25 июля – выходит 93312000000 мух; среди них 46656000000 самок;

13 августа – выходит 5598720000000 мух; среди них 2799360000000 самок;

1 сентября – выходит 335923200000000 мух.

Чтобы яснее представить себе огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна возле другой. Так как длина мухи 7 миллиметров, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 миллионов километров – в 18 раз дальше, чем от Земли до Солнца (т. е. примерно как от Земли до планеты Уран).

Бесплатный обедI

Десять молодых людей решили отпраздновать окончание школы товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни считали необходимым разместиться в алфавитном порядке, другие – по возрасту, третьи – по степени успешности, четвертые – по росту и т. п. Спор затянулся, суп успел простыть, а за стол никто не садился.

Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

– Молодые друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как кому придется, и выслушайте меня.

Все сели как попало. Официант продолжал:

– Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра опять сядете по-новому и т. д., пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как вы сидите здесь сегодня, тогда – обещаю торжественно – я угощу вас всех бесплатно самым изысканным обедом!

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы поскорее воспользоваться бесплатным обедом.

Однако им не пришлось дождаться этого дня. И вовсе не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется ни мало ни много – 3628800.

Такое число дней составляет, как нетрудно сосчитать, 9942 года (без малого), т. е. почти 10000 лет. Слишком долгий срок ожидания одного бесплатного обеда…II

Может быть, вам кажется невероятным, чтобы 10 человек могли размещаться таким большим числом различных способов? В таком случае проверьте этот расчет сами. Но раньше надо научиться определять число перестановок. Для простоты начнем вычисление с небольшого числа предметов – с трех. Назовем их А, Б и В.

Мы желаем узнать, сколькими способами возможно переставлять их один на место другого. Рассуждаем так. Если отложить пока в сторону вещь В, то остальные две можно разместить только двумя способами:

Теперь будем присоединять вещь В к каждой из этих пар. Мы можем сделать это трояко:

1) поместить В п о з а д и пары,

2) поместить В в п е р е д и пары,

3) поместить В м е ж д у вещами пары.

Других положений для вещи В, кроме этих трех, очевидно, быть не может. А так как у нас две пары, АБ и БА, то всех способов разместить вещи у нас имеется 2 x 3 = 6. Способы эти следующие:

Теперь пойдем дальше – сделаем расчет для 4 вещей. Пусть у нас 4 вещи: А, Б, В и Г. Опять отложим пока в сторону одну вещь, например Г; а с остальными тремя вещами сделаем все возможные перестановки. Мы уже знаем, что число этих перестановок – 6. Сколькими же способами можно присоединить четвертую вещь Г к каждой из 6 троек? Очевидно, четырьмя:

1) поместить Г п о з а д и тройки;

2) поместить Г в п е р е д и тройки;

3) поместить Г м е ж д у 1-й и 2-й вещью;

4) поместить Г м е ж д у 2-й и 3-й вещью;

Всего получим, следовательно,

6 x 4 = 24 перестановки;

а так как 6 = 2 x 3, и 2 = 1 x 2, то число всех перестановок можем представить в виде произведения:

1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Рассуждая таким же образом и в случае 5-ти предметов, мы узнаем, что тогда число перестановок равно